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1、关于不定积分的计算第1页，讲稿共47张，创作于星期一问题问题解决方法解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量间变量.过程过程令令说明结果正确说明结果正确一、第一换元积分法一、第一换元积分法第2页，讲稿共47张，创作于星期一对于形如对于形如的积分，设的积分，设如果如果连续，且连续，且则则该积分法可由下面的逆运算证明该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做这种积分方法也叫做“凑微分法凑微分法”。第3页，讲稿共47张，创作于星期一定理定理1可导可导,则有换元公式则有换元公式设设 f(u)具有原函数具有原函数 F(u),u=(x)连续连续如何应用上述公式来求
2、不定积分如何应用上述公式来求不定积分?则使用此公式的关键在于将则使用此公式的关键在于将化为化为的形式，的形式，假设要求假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.第4页，讲稿共47张，创作于星期一例例1 求求 解解 u=2x+1,du=d(2x+1)=2dx,则则 想到公式想到公式注意换回原变量注意换回原变量第5页，讲稿共47张，创作于星期一例例2 求求 解：解：则则想到公式想到公式第6页，讲稿共47张，创作于星期一 这种换元法又称为凑微分法或配元法这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进一即引进一个新变量以代替原来的变量个新变量以代替原来的变量,对于变量
3、代换熟练以后对于变量代换熟练以后,可可以不写出中间变量以不写出中间变量 u.例例1 求求 解法二：解法二：第7页，讲稿共47张，创作于星期一例例3 求求 一般地一般地,有有 第8页，讲稿共47张，创作于星期一例例4 求求 类似类似第9页，讲稿共47张，创作于星期一例例5 求求 一般地一般地,有有 第10页，讲稿共47张，创作于星期一例例6 求求解解说明说明:当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函如正弦函数和余弦函数数)相乘时，拆开奇次项去凑微分相乘时，拆开奇次项去凑微分.第11页，讲稿共47张，创作于星期一例例7 求求 第12页，讲稿共47张，创作于星期一例例8 求求 一
4、般地一般地,有有 第13页，讲稿共47张，创作于星期一例例9 求求 一般地一般地,有有 第14页，讲稿共47张，创作于星期一第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子出合适的微分因子第15页，讲稿共47张，创作于星期
5、一例例10 求求 第16页，讲稿共47张，创作于星期一例例11 求求 第17页，讲稿共47张，创作于星期一例例12 求求 第18页，讲稿共47张，创作于星期一例例13 求求 第19页，讲稿共47张，创作于星期一例例14 求求 第20页，讲稿共47张，创作于星期一例例15 求求 第21页，讲稿共47张，创作于星期一解解类似可得类似可得例例16.求第22页，讲稿共47张，创作于星期一小结小结积分常用技巧积分常用技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法）(4)巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。利用积化
6、和差利用积化和差;分式分项等分式分项等;利用倍角公式利用倍角公式,如如第23页，讲稿共47张，创作于星期一作业作业P155 1(1)-(18)第24页，讲稿共47张，创作于星期一二、第二换元积分法二、第二换元积分法设设将积分将积分 化为化为 若若则则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。第25页，讲稿共47张，创作于星期一例例1 1 求求解解 令令则则于是于是第26页，讲稿共47张，创作于星期一例例2 2 求求解解令令第27页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用
7、令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例3 3 求求解解令令第28页，讲稿共47张，创作于星期一三、三、分部积分法分部积分法由导数公式由导数公式积分得积分得:分部积分公式分部积分公式或或 分部积分法一般用于是解决分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积两种不同类型函数乘积的不定的不定积分问题的积分问题的.第29页，讲稿共47张，创作于星期一例例1.求求解解:令令则则原式原式=分析：分析：被积函数被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积是幂函数与对数函数的乘积,采用采用分部积分分部积分.第30页，讲稿共47张，创作于星期一例例2 2 求积分求积分解
8、（一）解（一）令令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.解（二）解（二）令令 分析：分析：被积函数被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积是幂函数与三角函数的乘积,采用采用分部积分分部积分.第31页，讲稿共47张，创作于星期一(1)v要容易求出要容易求出;容易积出容易积出.分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择一般来说，一般来说，选取的原则是：选取的原则是：第32页，讲稿共47张，创作于星期一 解题技巧：解题技巧：分部积分法求不定积分的关键是要分部积分法求不定积分的关键是要确定确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：，由计算的经验
9、，可以得出以下顺序：“反反（反三角（反三角函数）、函数）、对对对对（对数函数）、（对数函数）、幂幂幂幂（幂函数）、（幂函数）、指指指指（指数函数）、（指数函数）、三三三三（三角函数）（三角函数）”，当两种不同类型函数相乘求积分时，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为按以上顺序，排序在前的函数作为u.即即 把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积,按按“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序,前者为前者为 后者为后者为第33页，讲稿共47张，创作于星期一例例3.求求解解:令令,则则原式原式=第34页，讲稿共47张，创作于星期一例例4 求求 解解 设设 u=arc
10、tanx,v=x,则则“反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为第35页，讲稿共47张，创作于星期一例例5 求求 解解 设设 u=lnx,dv=dx,则则“反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为第36页，讲稿共47张，创作于星期一例例6 求求 设设 u=x 2,则则 du=2xdx,v=-cosx,于是于是解：解：第37页，讲稿共47张，创作于星期一例例7 求求 上式最后一项正好是所求积分上式最后一项正好是所求积分,移到等式左边然后除以移到等式左边然后除以2,可知可知 e x sinx 的一个原函数为的一个原函数为第38页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明:分部积分题目的主
11、要类型分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型要一致函数类型要一致,解出积分后加解出积分后加 C)第39页，讲稿共47张，创作于星期一不定积分计算练习题不定积分计算练习题第40页，讲稿共47张，创作于星期一第41页，讲稿共47张，创作于星期一例例1 求求解解:令令则则故故原式原式注意换回原变量注意换回原变量想到公式想到公式第42页，讲稿共47张，创作于星期一例例2 求求 解解 u=2x+1,du=2dx,则则 想到公式想到公式第43页，讲稿共47张，创作于星期一例例3 求求 例例4 求求 例例5 求求 第44页，讲稿共47张，创作于星期一例例6 求求 第45页，讲稿共47张，创作于星期一例例7 求求 第46页，讲稿共47张，创作于星期一感感谢谢大大家家观观看看第47页，讲稿共47张，创作于星期一