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1、不定积分的计算不定积分的计算一、第一换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法三、分部积分法问题问题解决方法解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量中间变量.过程过程令令说明结果正确说明结果正确一、第一换元积分法一、第一换元积分法对于形如对于形如的积分，设的积分，设如果如果连续，且连续，且则则该积分法可由下面的逆运算证明该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做这种积分方法也叫做“凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法”。定理定理1可导可导,则有换元公式则有换元公式设设 f(u)具有原函数具有原函数 F(u),u=(x)连续
2、连续如何应用上述公式来求不定积分如何应用上述公式来求不定积分?则使用此公式的关键在于将则使用此公式的关键在于将化为化为的形式，的形式，假设要求假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.例例1 求求 解解 u=2x+1,du=d(2x+1)=2dx,则则 想到公式想到公式注意换回原变量注意换回原变量例例2 求求 解：解：则则想到公式想到公式 这种换元法又称为凑微分法或配元法这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进即引进一个新变量以代替原来的变量一个新变量以代替原来的变量,对于变量代换熟练对于变量代换熟练以后以后,可以不写出中间变量可以不写出中间变量 u.例
3、例1 求求 解法二：解法二：例例3 求求 一般地一般地,有有 例例4 求求 类似类似例例5 求求 一般地一般地,有有 例例6 求求解解说明说明:当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数(如正弦函数和余如正弦函数和余弦函数弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分相乘时，拆开奇次项去凑微分.例例7 求求 例例8 求求 一般地一般地,有有 例例9 求求 一般地一般地,有有 第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟这种方法的特点是凑微分
4、，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子拼凑出合适的微分因子例例10 求求 例例11 求求 例例12 求求 例例13 求求 例例14 求求 例例15 求求 不定积不定积分的计分的计算算类似可得类似可得例例16.求不定不定积分积分的计的计算算积分常用技巧积分常用技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法）(4)巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。利用积化和差
5、利用积化和差;分式分项等分式分项等;利用倍角公式利用倍角公式,如如作业作业P155 1(1)-(18)不定积分的计算不定积分的计算设设将积分将积分 化为化为 若若则则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。例例1 1 求求解解 令令则则于是于是例例2 2 求求解解 令令说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例3 3 求求解解令令不定积分的计算不定积分的计算由导数公式由导数公式积分得积分得:分部积分公式分部积分公式或或
6、 分部积分法一般用于是解决分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积两种不同类型函数乘积的不定积分问题的的不定积分问题的.不定积分的计算不定积分的计算解解:令令则则原式原式=分析：分析：被积函数被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积是幂函数与对数函数的乘积,采用分部积分采用分部积分.例例2 2 求积分求积分解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.解（二）解（二）令令 分析：分析：被积函数被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积是幂函数与三角函数的乘积,采用分部积分采用分部积分.(1)v要容易求出要容易求出;容易积出容易积出.分部积分公式运用成
7、败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择一般来说，一般来说，选取的原则是：选取的原则是：解题技巧：解题技巧：分部积分法求不定积分的关键是分部积分法求不定积分的关键是要确定要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反反反反（反三角函数）、（反三角函数）、对对对对（对数函数）、（对数函数）、幂幂幂幂（幂函数）、（幂函数）、指指指指（指数函数）、（指数函数）、三三三三（三角函数）（三角函数）”，当两种不同，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为函数作为u.即即 把被积函数视为两个
8、函数之积把被积函数视为两个函数之积,按按“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序,前者为前者为 后者为后者为例例3.求求解解:令令,则则原式原式=例例4 求求 解解 设设 u=arctanx,v=x,则则“反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为例例5 求求 解解 设设 u=lnx,dv=dx,则则“反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为例例6 求求 设设 u=x 2,则则 du=2xdx,v=-cosx,于是于是解：解：例例7 求求 上式最后一项正好是所求积分上式最后一项正好是所求积分,移到等式左边然后除移到等式左边然后除以以2,可知可知 e x sinx 的一个原函数为的一个
9、原函数为不定积不定积分的计分的计算算分部积分题目的主要类型分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型要一致函数类型要一致,解出积分后加解出积分后加 C)不定积分计算练习题不定积分计算练习题例例1 求求解解:令令则则故故原式原式注意换回原变量注意换回原变量想到公式想到公式例例2 求求 解解 u=2x+1,du=2dx,则则 想到公式想到公式例例3 求求 例例4 求求 例例5 求求 例例6 求求 例例7 求求 第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如一些函数的微分公式，例如等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子拼凑出合适的微分因子