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1、线性代数之行列式课件第1页，此课件共26页哦线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学基本要求基本要求基本要求基本要求1.1.会用对角线法则计算法会用对角线法则计算法会用对角线法则计算法会用对角线法则计算法2 2阶和阶和阶和阶和3 3阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式2.2.知道知道知道知道n n阶行列式的定义及性质阶行列式的定义及性质阶行列式的定义及性质阶行列式的定义及性质3.3.知道代数余子式的定义及性质知道代数余子式的定义及性质知道代数余子式的定义及性质知道代数余子式的定义及性质4.4.会利用行列式的性质及按行会利用行列式的性质及按行会利用行列式的性质
2、及按行会利用行列式的性质及按行(列列列列)展开计算简单的展开计算简单的展开计算简单的展开计算简单的n n阶行列阶行列阶行列阶行列式式式式5.5.知道克拉姆法则知道克拉姆法则知道克拉姆法则知道克拉姆法则习题课第2页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学二阶行列式的引入二阶行列式的引入二阶行列式的引入二阶行列式的引入三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式的计算三阶行列式的计算对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明 1 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2
3、 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项其中三项为正为正,三项为负三项为负.第3页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学概念的引入概念的引入概念的引入概念的引入全排列定义全排列定义全排列定义全排列定义在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.定义定义n 个不同的自然数，规定由小到大为个不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数排列的逆
4、序数排列的逆序数定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.计算排列逆序计算排列逆序计算排列逆序计算排列逆序数的方法数的方法数的方法数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数
5、之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.由前向后由前向后(后向前后向前)求每个数的逆序数求每个数的逆序数.第4页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学n n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义定义定义1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解
6、方程个数和未知量个数、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同项，每项都是位于不同行、不同列列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.第5页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学行列式的性质行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列
7、式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘乘此行列式此行列式.性质性质性质性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质性质性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式不变式不变计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式利用运算把行列式化为上三角形行列
8、式利用运算把行列式化为上三角形行列式 (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值式的值行列式的行列式的行列式的行列式的6 6个性质个性质个性质个性质性质性质性质性质 5 5 5 5若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和的元素都是两数之和.则可拆为两个行列式之和则可拆
9、为两个行列式之和.第6页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式行列式按行行列式按行行列式按行行列式按行(列列列列)展开展开展开展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式引理引理引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那末这行列外都为零，那末这行列式等于式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 定理定理定理定理 行列式等于它的任一行
10、（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即和，即行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即等于零，即关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第7页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学克拉默法则克拉默法则线性方程组线性方程组那么线性方程组那么线性方程组(1)有解，有解，并且解是唯一
11、的并且解是唯一的:系数行列式系数行列式非齐次线性方程非齐次线性方程组组不全为不全为零零线性方程组线性方程组(1)无解无解或有两个不同的解或有两个不同的解齐次线性方程组齐次线性方程组全为全为零零没有非零解没有非零解有非零解有非零解用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)1)1)1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零系数行列式不等于零系数行列式不等于零.第8页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线
12、性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学用定义计算（证明）用定义计算（证明）用定义计算（证明）用定义计算（证明）计算（证明）行列式计算（证明）行列式计算（证明）行列式计算（证明）行列式i i常用方法常用方法常用方法常用方法利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用降阶法计算用降阶法计算用降阶法计算用降阶法计算用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算用递推法计算用递推法计算用递推法计算
13、用递推法计算用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法第9页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例1计算计算解解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得第10页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例1计算计算评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列
14、式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的式性质，以达到化为三角形行列式之目的第11页，此课件共26页哦习习习习
15、题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学用递推法计算用递推法计算用递推法计算用递推法计算例例2计算计算解解由此递推，得由此递推，得第12页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法例例3证明证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法第13页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学 用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法
16、例例3证明证明评注评注第14页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学计算行列式的方法比较灵活，同计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法用的几种方法小小 结结第15页，此课件共26页哦习习习习题题题题
17、课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学证证第16页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学第17页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学一、填空题一、填空题(每小题每小题6 6分，共分，共5454分分)第一章第一章 测试题测试题第18页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学第19页，此课件共26页哦
18、习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学二、二、计算下列行列式计算下列行列式(每小题每小题1010分，共分，共2020分分)有非零解？有非零解？三、三、解答题解答题(10(10分分)四、四、(16(16分分)设设 阶行列式阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第20页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学测试题答案测试题答案第21页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四
19、川农业大学四川农业大学四川农业大学一、填空题一、填空题(每小题每小题6 6分，共分，共5454分分)测试题部分题答案提示测试题部分题答案提示第22页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学第23页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学第24页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学第25页，此课件共26页哦习习习习题题题题课课课课线性代数线性代数线性代数线性代数四川农业大学四川农业大学四川农业大学四川农业大学二、二、计算下列行列式计算下列行列式(每小题每小题1010分，共分，共2020分分)第26页，此课件共26页哦