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1、一、近似计算一、近似计算例1.计算的近似值,精确到解:第1页/共25页例例2.计算计算的近似值,使准确到解:已知故令得于是有用此式求 ln2 计算量大第2页/共25页在上述展开式中取前四项,第3页/共25页说明说明:在展开式在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),第4页/共25页例例3.利利用用求误差.解:先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计第5页/共25页(取 例例4.计算积分计算积分的近似值,精确到解:第6页/共25页则 n 应满足则所求积分近似值为欲使截断误差第7页/共25页例例5.计算积分计算积分的近似值,精确到解:由于故所给积分不是广义积分.若定义被
2、积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:第8页/共25页二、微分方程的幂级数解二、微分方程的幂级数解法法代入原方程,比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 1.一阶微分方程的情形第9页/共25页例例6.解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为 第10页/共25页2.二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题定理:则在R x 4 时,第12页/共25页因此注意到:此题的上述特解即为第13页/共25页三、欧拉三、欧拉(Euler)公公式式则称 收
3、敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数绝对收敛则称 绝对收敛.由于,故知 欧拉 第14页/共25页定义定义:复变量复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当 y=0 时,它与实指数函数当 x=0 时,的幂级数展式一致.第15页/共25页（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则欧拉 第16页/共25页据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有第六节 作业 P291 1(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七节 第17页/共25页 备用题备用题 1.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.(2002考研)解:(1)第18页/共25页所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为第19页/共25页代入初始条件可得故所求级数的和第20页/共25页2.解:求解勒让德(Legendre)方程 展成幂级数,故方程满足定理条件.设方程的解为代入:因方程特点,不用将 P,Q 进行展开定理第21页/共25页整理后得整理后得:比较系数,得例如:第22页/共25页于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.第23页/共25页谢谢您的观看！第25页/共25页