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1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节第五节 一、近似计算一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法二、微分方程的幂级数解法 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式三、欧拉公式 目录 上页 下页 返回 结束 一、近似计算一、近似计算例例1.计算的近似值,精确到解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算的近似值,使准确到解解:已知故令得于是有用此式求 ln2 计算量大目录 上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项,目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),目录 上页 下页 返回 结束 例例3.
2、利用求误差.解解:先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计目录 上页 下页 返回 结束(取 例例4.计算积分的近似值,精确到解解:目录 上页 下页 返回 结束 则 n 应满足则所求积分近似值为欲使截断误差目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算积分的近似值,精确到解解:由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:目录 上页 下页 返回 结束 二、微分方程的幂级数解法二、微分方程的幂级数解法代入原方程,比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 1.一阶微分方程的情
3、形一阶微分方程的情形目录 上页 下页 返回 结束 例例6.解解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为 目录 上页 下页 返回 结束 2.二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题定理定理:则在R x 4 时,目录 上页 下页 返回 结束 因此注意到:此题的上述特解即为目录 上页 下页 返回 结束 三三、欧拉、欧拉(Euler)公公式式则称 收敛收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛.由于,故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当 y=0 时
4、,它与实指数函数当 x=0 时,的幂级数展式一致.目录 上页 下页 返回 结束（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 据此可得(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有第六节 作业作业 P291 1(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.(2002考研)解解:(1)目录 上页 下页 返回 结束 所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为目录 上页 下页 返回 结束 代入初始条件可得故所求级数的和目录 上页 下页 返回 结束 2.解解:求解勒让德(Legendre)方程 展成幂级数,故方程满足定理条件.设方程的解为代入:因方程特点,不用将 P,Q 进行展开定理目录 上页 下页 返回 结束 整理后得:比较系数,得例如:目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.