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1、1历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，n次代数方程在复数域内一定有 n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5 5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。第1页/共48页2根的概念 给定方程 f(x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x)=0的根 或f(x)的零点.设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)0 ，则当m=2时，称a为f(x)
2、=0的m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根.本章只讨论实根的求法.第2页/共48页3 重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.第3页/共48页4零点定理：设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。零点定理第4页/共48页5等步长扫描用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定的步长，取 ，若 则扫描成功；否则令 ，继续上述方法，直到成功。如果 则扫描失败。再
3、将h 缩小，重复以上步骤。第5页/共48页6例题例 设方程 解：取h=0.1,扫描得：又 即 在 有唯一根。第6页/共48页7 设有非线性方程 f(x)=0其中，f(x)为 a,b 上连续函数且设 f(a)f(b)1重根，则此时Newton法仅有线性收敛速度.第30页/共48页31Newton法收敛的充分条件第31页/共48页32Newton迭代法收敛性证明：根的存在性 根的唯一性第32页/共48页第33页/共48页34.牛顿阶导数法第34页/共48页35牛顿阶导数法迭代公式第35页/共48页36由前例可知其为阶收敛。第36页/共48页37牛顿阶导数法由前例可知其为阶收敛。第37页/共48页3
4、82.5 割线法几何示意图(a)单点割线法 (b)变端点弦截法 第38页/共48页392.5 割线法Newton迭代法有一个较强的要求是 存在且 ,因此用弦的斜率近似的替代 。第39页/共48页40割线法解得弦与 轴的交点是坐标 第40页/共48页41割线法第41页/共48页42例 用双点割线法求方程在区间 内的实根。解：取 代入公式 计算结果,如下表所示：第42页/共48页kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.337206444 0.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8第43页/共48页44割线法收敛的速度第44页/共48页45将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢x0 x1割线 切线第45页/共48页46x0 x1切线切线 割线 第46页/共48页47几何解释第47页/共48页48感谢您的观看！第48页/共48页