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1、第7 7章 非线性方程求根7 71 1 方程求根与二分法方程求根与二分法 1.1.引言引言设 若有 使 则称 是方程 的根根或 的零点零点。若 ，当 时,称 为方程 的单根单根，当 时,称 为方程 的m m重根重根或 的m m重零点重零点。第1页/共45页定理定理 若 有m阶导数，则 是 的 m重根的充分必要条件是 ，。证明证明:依据泰勒中值定理知依据泰勒中值定理知.泰勒公式：泰勒公式：第2页/共45页2.2.二分法二分法零点定理零点定理 若 又 则 。依据零点定理对区间 逐次分半进行根的搜索，这就是二分法二分法。，；第3页/共45页具体作法如下：设设，令令 ，（1 1）若）若，则，则 是根；
2、是根；（2 2）若）若，令，令 ；（3 3）若）若，令，令 。对对再二分且同样的讨论，得再二分且同样的讨论，得和一半的区间和一半的区间将此过程继续下去，得将此过程继续下去，得 则则 。第4页/共45页定理定理 设 又 则由 二分法得到的 收敛于根 ，且有根的 近似值 误差估计式：。第5页/共45页7 72 2 迭代法及收敛性迭代法及收敛性1.1.不动点迭代法的概念不动点迭代法的概念将 改写成等价形式 。若有 使 ,则将 称为 的不动点不动点。求 的根 ,也就是找 的不动点。设选择 （初始近似值）并构造 （2.2）计算公式（2.2）称为迭代格式迭代格式,称为迭迭 代函数代函数,得到的 称为迭代序
3、列迭代序列,用公式（2.2）逐步代入求近似解的方法称为迭代法迭代法(或 不动点迭代法不动点迭代法)。第6页/共45页若 ,则称迭代收敛迭代收敛,否则,就称迭代迭代 发散发散。若 ,迭代都收敛，则称迭 代全局收敛全局收敛。第7页/共45页压缩映象原理压缩映象原理 设 若 (1)当 时，有 ，(2)使 有 则 使 。证明证明 第8页/共45页压缩映象原理证明 证存在性证存在性。令。令 （1 1），则，则（2 2），则，则（3 3），据零点定理，据零点定理，使，使。；证唯一性证唯一性。若另有。若另有是不动点，是不动点，这与这与矛盾。矛盾。证毕证毕第9页/共45页2.2.全局收敛全局收敛全局收敛性定理
4、全局收敛性定理 设 若 时，有 ;，使 有 迭代公式 则 ,迭代法收敛，且有以下估计式（1 1）（2 2）（3 3）第10页/共45页证明证明 ，证（证（1 1）又由于又由于 是固定数，而是固定数，而，所以，所以，迭代收敛。，迭代收敛。证（证（2 2）所以，所以，第11页/共45页注：全局收敛性定理中条件(2)换成 ,，定理结论仍成立。证（证（3 3）因而）因而 证毕证毕据拉格朗日定理，据拉格朗日定理，第12页/共45页3 3局部收敛和局部收敛和p p阶收敛阶收敛定义定义 若 是 的不动点，,使 ,由迭代公式 产生的序列 ，有 ，则称迭代局部收敛局部收敛。定义定义 若若局部收敛性定理局部收敛性
5、定理 是 的不动点，在 连续，迭代公式 ，则(1)当 时，迭代局部收敛；(2)当 时，迭代发散。第13页/共45页证明证明 由于由于 存在，故存在，故,当当 时，时，存在，存在，连续。且由连续。且由 极限的保号性，当极限的保号性，当 时时，使使；当；当 时，有时，有 。满足满足(2);2);当当 时，时，满足（满足（1 1）；据全局收敛定理）；据全局收敛定理,在在 上收敛。上收敛。当当 时，时，所以，所以，迭代不收敛。，迭代不收敛。证毕证毕第14页/共45页定义定义 设 ，若 ，则称迭代过程是p p阶收敛阶收敛。特别地，p=1称为线性收敛线性收敛，p1称为超线性收超线性收敛敛，p=2称为平方收
6、敛平方收敛。定理定理 若 ,则迭代过程是p阶收敛。第15页/共45页 证明证明 证毕证毕第16页/共45页例例 设方程 ，根 ,将 方程改写成下列等价形式：（1）；（2）；（3）。试建立相应的迭代格式，并分析它们的收敛性，然后选取一个格式作为计算公式。解解解解 （1 1），；，；，。（2 2）（3 3）第17页/共45页 ，收敛；收敛；，不收敛；，不收敛；，收敛。，收敛。因为，因为，取，取 作为计算公式。作为计算公式。解毕解毕第18页/共45页7 74 4 牛顿法（切线法）牛顿法（切线法）其牛顿迭代函数牛顿迭代函数 由 解出 得。第19页/共45页 例例 设用牛顿迭代法求方程设用牛顿迭代法求方
7、程 内的根，内的根，在在 取取 ，要求，要求。解解 ，因为因为,所以所以,解毕解毕第20页/共45页1 1牛顿迭代法及其收敛性牛顿迭代法及其收敛性例例 设 ,写出用牛顿法求 的迭代计算公式，并分析收敛性。解解解解 令令 ，取取 所以，所以，第21页/共45页 单减有下界，单减有下界，存在，于是，对本题计算公存在，于是，对本题计算公 式取极限，式取极限，有有 ，说明，本题计算公式在，说明，本题计算公式在 上全局收敛。上全局收敛。解毕解毕第22页/共45页牛顿迭代函数设 是 的单根，即 ,。,故，牛顿法牛顿法在 邻近至少是至少是2 2阶收敛阶收敛的。第23页/共45页2 2简化牛顿法简化牛顿法 特
8、别 即牛顿法。第24页/共45页7 75 5 弦截法与抛物线法弦截法与抛物线法3 3弦截法弦截法取 是1步迭代法，1阶收敛第25页/共45页4 4快速弦截法快速弦截法取 是2步迭代法，1618阶收敛第26页/共45页5 5抛物线法（密勒法）抛物线法（密勒法）若用三点 ,连接成抛物线取与 轴上靠近 的交点当作 的近似值 。该法称作抛物线法抛物线法或或密勒法密勒法.计算公式为计算公式为是3步迭代法，1840阶收敛.第27页/共45页 证明证明 二次牛顿插值二次牛顿插值 其中其中 令令 解出解出 号取与号取与符号相同，即符号相同，即 第28页/共45页6 6牛顿下山法（全局收敛）牛顿下山法（全局收敛
9、）的解的解，则，则若视若视 为为 在在处的高度，则处的高度，则 是山谷的最低点，是山谷的最低点，若若 有有 ，则则 是一个下山序列是一个下山序列,若若 ，且，且 ，取取 ，例取，例取 第29页/共45页7 7重根情形重根情形复习定理复习定理 若 有k阶导数，则 是 的k重根的充分必要条件是 ，。第30页/共45页 牛顿迭代函数牛顿迭代函数 ，收敛。收敛。，所以，收敛是所以，收敛是1 1阶收敛。阶收敛。第31页/共45页(1)(1)已知重数已知重数k k修改牛顿迭代函数，收敛是，收敛是2 2阶收敛。阶收敛。第32页/共45页2.2.重数重数k k未知未知设 迭代函数迭代函数 ，则，则是是的单零点
10、的单零点.收敛是收敛是2 2阶收敛。阶收敛。第33页/共45页7 73 3 迭代收敛的加速方法迭代收敛的加速方法1.1.埃特金加速法埃特金加速法设设 ,是是1 1阶收敛阶收敛，且有，且有 ,相除得：相除得：即：即：解出：解出：第34页/共45页埃特金加速法埃特金加速法 第35页/共45页2.2.斯蒂芬森迭代法斯蒂芬森迭代法斯蒂芬森迭代斯蒂芬森迭代 由于由于 ，新迭代函数新迭代函数 第36页/共45页7 76 6 非线性方程组的解法非线性方程组的解法非线性方程组非线性方程组两种解法:不动点迭代法不动点迭代法(简单迭代法简单迭代法)牛顿迭代法牛顿迭代法第37页/共45页1不动点迭代法不动点迭代法（
11、简单迭代法简单迭代法）改写成等价形式简单迭代法：压缩映象原理和收敛性定理也成立。第38页/共45页2.2.牛顿迭代法牛顿迭代法雅可比矩阵雅可比矩阵 牛顿迭代法牛顿迭代法第39页/共45页例例 写出解以下非线性方程组的迭代格式写出解以下非线性方程组的迭代格式解解 简单迭代法：简单迭代法：取取 迭代至迭代至2828步后，得解的近似值为步后，得解的近似值为 ，第40页/共45页 牛顿迭代法：牛顿迭代法：其中：其中：取取 仅迭代了仅迭代了4 4步，得解的近似值为步，得解的近似值为，解毕解毕 第41页/共45页 例例 求解以下非线性方程组求解以下非线性方程组(仅迭代仅迭代2 2步步).).,解解 ，第42页/共45页 ，第43页/共45页,所以，得方程组解的近似值为所以，得方程组解的近似值为，解毕解毕第44页/共45页感谢您的欣赏！第45页/共45页