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1、 方程求根方程求根1历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，n次代数方程在复数域内确定有 n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就困难的多，假如有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此须要探讨数值方法求得满足确定精度要求的根的近似解。2根的概念 n给定方程 f(x)=0，假如有a使得f(a)=0，则称a为 f(x)=0的根 或f(x)的零点.n设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)0 ，n 则当m=2时，称a为f
2、(x)=0的m重根；n 当m=1时，称为f(x)=0的单根.n本章只探讨实根的求法.3 重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法,简洁介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,很多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机精彩完成.4n零点定理：零点定理：n 设设 ，且，且 ，则方程，则方程 在区间在区间 上至少有一个根。假如上至少有一个根。假如 在在 上恒正或恒负，则此根唯一。上恒正或恒负，则此根唯一。零点定理5等步长扫描等步长扫描n用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定的步长，取 ，n若 则扫
3、描成功；否则令 n ，n接着上述方法，直到成功。假如 则扫描n失败。再将h 缩小，重复以上步骤。6例题n例 设方程 解：取h=0.1,扫描得：又 即 在 有唯一根。7 设有非线性方程 f(x)=0其中，f(x)为 a,b 上连续函数且设 f(a)f(b)1重根，则此时Newton法仅有线性收敛速度.312.4.3 Newton法收敛的充分条件法收敛的充分条件32Newton迭代法收敛性证明：根的存在性存在性 根的唯一性唯一性3334.牛顿阶导数法35牛顿阶导数法迭代公式36由前例可知其为阶收敛。37牛顿阶导数法由前例可知其为阶收敛。382.5 割线法几何示意图(a)单点割线法 (b)变端点弦截
4、法 392.5 割线法Newton迭代法有一个较强的要求是 存在且 ,因此用弦的斜率近似的替代 。40割线法解得弦与 轴的交点是坐标 41割线法42例 用双点割线法求方程在区间 内的实根。解：取 代入公式 计算结果,如下表所示：43kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.337206444 0.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8442.5.3 割线法收敛的速度45将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢x0 x1割线割线 切线切线46x0 x1切线切线 割线割线 47几何说明几何说明48