Chap数值积分实用.pptx

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1、3.1 数值积分公式及其代数精度1.数值积分公式的一般形式函数值为f(xk)(k=0,1,.,n),取上述这些函数值的带权的和(1.1)作为 的近似值,即令(1.2)设 f(x)在节点 处的第1页/共76页称上式为数值积分公式。xk(k=0,1,.,n)称为求积节点。权 Ak 又称求积系数,Ak 仅与 xk 的选取有关。称 为数值求积公式的余项（或截断误差）。(1.2)这类数值积分公式也称为机械求积公式，其特点是利用一些函数值的组合算出积分的近似值。这就避开了牛顿-莱伯尼兹公式需要寻求原函数的困难。第2页/共76页 2.数值积分公式的代数精度 利用余项 R(f)可以描述数值积分公式的精度,而刻

2、画其精度的另一概念是代数精度.定义1.1 若数值积分公式对于一切次数 m 的代数多项式,都准确成立,称其至少具有 m 次代数精度;若数值积分公式对于一切次数m 的代数多项式都准确成立,而对于某个 m+1 次代数多项式不准确成立,则称此求积公式具有m 次代数精度.定理1.1数值积分公式具有 m次代数精度的充分必要条件是当 f(x)=1,x,x2,.,xm 时数值积分公式准确成立,而当 f(x)=xm+1 时其不准确成立.按以上定义易知第3页/共76页中的待定系数 A0,x1,A1,使其代数精度尽量高,并指出所确定的求积公式的代数精度.解：令 f(x)=1,x,x2 使之准确成立,则有例1.1.确

3、定下列数值积分公式第4页/共76页取 f(x)=x3 时，上式左边=右边=1/4。取 f(x)=x4 时，上式左边=1/5，右边=5/24，左边 右边。所以确定的求积公式具有3 次代数精度。下面确定数值积分公式的代数精度。若用类似的方法确定一般的数值积分公式如何？第5页/共76页若有解，则得到的数值积分公式(1.2)至少有2n+1次代数精度。但这是一个非线性方程组。很难求解！第6页/共76页3 插值型数值积分公式设 f(x)在插值节点 a x0 x1 .0，m为正整数，步长h=(b-a)/2m。即将积分区间分割成2m等份。Step 2.计算 这里 Step 3.计算 这里 将每一个小子区间二等

4、分，即步长折半。Step 4.如果，则停止，输出值 ,否则，置 m=m+1，h:=h/2，转到Step 3。第32页/共76页例2.3 用变步长的梯形公式计算积分解:对于 ,定义 f(0)=1,首先在区间 0,1 上用梯形公式（即步长 h=1）,求得将 0,1 对分,它的中点函数值 ,则有如果 不成立，则 h:=h/2=1/2，计算（精确到10-6）第33页/共76页如此继续下去,计算结果如下表如果 不成立，则 h:=h/2=1/4，继续计算。第34页/共76页kkT 2kT 2k0123456789100.920 735 50.939 793 30.944 513 50.945 690 90

5、.945 985 00.946 059 60.946 076 90.946 081 50.946 082 70.946 083 00.946 083 1从上表可看出,将积分区间对分了10次,求得 I 的近似值为0.9460831(积分精确值为0.9460831.),可见收敛速度比较缓慢。为了加速变步长梯形公式的收敛速度，我们采用外推策略。第35页/共76页3.Richardson外推算法 若用一个步长为 h 的函数 I1(h)去逼近问题 I,设其截断误差可表示为 为了提高逼近的精度，选取 q 为满足 的正数,将上式(1)中的 h 换为 qh,则有 其中 是与h无关的常数,并且，(2.1)由(1

6、)可知I1(h)逼近I的误差为。(2.2)第36页/共76页(2.2)式减上式,得式(1)两端同乘以 得 (2.1)(2.2)第37页/共76页则 I2(h)逼近I 误差降为令其中 是与h无关的常数,则有，如此继续。第38页/共76页 一般地,选取 q 为满足 的正数,由此得到序列则 Im+1(h)逼近 I 的误差由下面的定理给出。定理 2.1 设 I1(h)逼近 I 的截断误差由下式给出则 Im+1(h)逼近 I 的截断误差为其中 是与 h 无关的常数。这种利用序列Im+1(h)逐步加速去逼近 I 的方法称为Richardson外推算法Richardson外推公式第39页/共76页4.Rom

7、berg 算法 Romberg 算法是利用变步长的梯形求积序列 外推加速来逼近积分真值的算法.考虑积分由复化梯形公式有现在将 Tn 记为 T1(h),则T2n 为 T1(h/2)且第40页/共76页 设 f(x)在区间 a,b 上任意次可微,根据 Euler-Maclaurin公式有其中 是与 h 无关的常数。因为Pm=2m,带入上式整理后得易知 Tm+1(h)逼近 I 的误差为 O(h2(m+1)，这种算法称为 Romberg算法。，。则有 选取 利用 Richardson 外推公式,第41页/共76页知T2(h)=Sn，当m=1时，由上式得则 T2(h)逼近 I 的误差为 O(h4)。由

8、T1(h)=Tn 和故有这是因为 从二分前后两个复化梯形值生成复化 Simpson值 Sn,将误差 O(h2)变为O(h4),从而提高了逼近精度第42页/共76页 当 m=2 时,则 T3(h)逼近 I 的误差为 O(h6)。由T2(h)=Sn,可以证明 T3(h)=Cn,故有能从二分前后两个复化Simpson值生成复化Cotes值Cn,将误差O(h4)变为O(h6),从而提高了逼近精度。第43页/共76页则 T4(h)逼近 I 的误差为 O(h8)。上式称为 Romberg 公式,利用此公式能从二分前后的两个复化 Cotes值生成 Romberg 值 Rn,且 Rn 逼近 I 的误差为 O(

9、h8).由 T3(h)=Cn 知则有令 Rn=T4(h)，当 m=3 时,第44页/共76页 这样可以从变步长的梯形序列 出发,可逐次 求 得 Simpson 序列 ,Cotes 序列 ,Romberg 序列 ，利用 Romberg 序列 还可以继续外推，但由于继续外推后构成的新的求积序列与原来的序列差别不大,故通常只外推到 Romberg 序列为止。第45页/共76页 T 1 T 2 T 4 T 8 S 1 S 2 S 4 C 1 C 2 R 1其中 表示计算顺序,k代表二分次数.如果 f(x)在区间 a,b 上充分光滑,可以证明上表中各列都收敛到积分 所以当同一列中相邻两个数所以当同一列中

10、相邻两个数之差的绝对值小于预给精度之差的绝对值小于预给精度时终止计算时终止计算.Romberg 算法的计算过程第46页/共76页例2.4用Romberg算法计算下列积分(精确到10-6)解:由变步长梯形公式求得二分 3 次的复化梯形值 T2,T4,T8,它们精度都很低.利用 Romberg 算法对其进行加工,结果列于下表.从此表可以看出,运用上述二分 3 次的复化梯形值,采用 Romberg 算法加速三次获得了变步长梯形公式二分 10 次才能获得的结果,因此加速效果是相当明显的.0.920 735 50.939 793 30.944 513 50.945 690 90.946 145 90.9

11、46 086 90.946 083 40.946 083 00.946 083 10.946 083 1第47页/共76页3.3 Gauss型求积公式本节讨论在插值节点个数一定的条件下,代数精度最高的插值型求积公式Gauss型求积公式。为了方便，本节考虑加权型积分公式：第48页/共76页则设 f(x)在插值节点 处的函数值为 f(xk),作 n 次 Lagrange 插值多项式1 Gauss型求积公式本节考虑带权的积分 其中 为权函数.若 ，即为通常的积分。第49页/共76页其中 (3.2)上式称为带权的插值型积分公式,Ak 是其求积系数.从而有这里取消对积分节点xk是等距的限制。第50页/共

12、76页定理3.1 求积公式(3.1)的代数精度最高不超过2n+1次.证明：考虑2n+2次多项式：它只在节点xi（i=0,1,n）处为零，在其它点处均大于零，所以第51页/共76页对于2n+2次多项式 不准确成立，可知(3.1)的其代数精度至多为2n+1。而 ，故插值型的数值积分公式(3.1)第52页/共76页定义 3.1 若插值型求积公式(3.1)度,则称该求积公式是 Gauss 积分公式,相应的求积节点 xk(k=0,1,n)称为Gauss点。其中 ，具有 2n+1 次代数精1.1 Gauss积分公式和Gauss点为了确定Gauss点和求积系数Ak，需要利用正交多项式理论。第53页/共76页

13、定义 3.2 给定区间 a,b 和权函数(x)及多项式序列其中首项系数若 gk(x)满足则称 为在区间a,b上带权(x)的正交多项式序列,gk(x)称为k 次正交多项式.定理3.2 n次正交多项式 gn(x)与任意次数不超过n-1的多项式 P(x)在区间a,b上带权(x)正交。第54页/共76页1.1 Gauss积分公式定理 3.3 带权Gauss 求积公式(3.1)中的求积节点 xk(k=0,1,.,n)是Gauss 点的充分必要条件是 与任意次数不超过 n 的多项式 P(x)均在区间 a,b带权 正交,即 。从而在a,b上带权 的 n+1次正交多项式 Pn+1(x)的零点即为Gauss 点

14、。第55页/共76页设求积节点xk(k=0,1,.,n)是正交多项式 的零点，其首项系数为 ，则 于是求积系数1.1 Gauss 积分公式第56页/共76页定理3.4 Gauss型求积公式(3.1)的求积系数Ak满足下面的性质：取f(x)=1下面讨论Gauss型求积公式的截断误差（余项）。第57页/共76页1.2 Gauss积分公式的余项,收敛性与稳定性定理 3.5 设函数 f C2n+2a,b,则 Gauss 求积公式的余项为 Gauss积分公式的余项第58页/共76页Gauss 求积公式的数值稳定性对于某一给定的算法，原始数据的误差（如舍入误差）为，且假设在运算过程中的其它误差都是由引起的

15、，如果误差在一定条件下能够得到控制，即数值计算结果的误差至多是原始数据误差的同阶无穷小量，则称该算法是数值稳定的；否则称该算法是数值不稳定的。第59页/共76页Gauss 求积公式的数值稳定性 设 f(xk)的近似值为记由 Gauss 求积公式和Ak 0,则有误差估计令第60页/共76页其中是一个大于零的常数.由此可知 Gauss 求积公式是数值稳定的.第61页/共76页定理 3.6 对任意的 f Ca,b,则 Gauss 求积公式均收敛,即有对于 Gauss 求积公式的收敛性,有如下的定理第62页/共76页2 几种常用的Gauss型求积公式Gauss-Legendre求积公式 Legendr

16、e多项式 是定义在区间-1,1上,权函数为 的正交多项式。其标准形式为:第63页/共76页可以证明,Legendre 多项式有下列递推关系：由上式可推出：当 n 为偶数时,Legendre 多项式 Pn(x)为偶函数；当 n 为奇数时,Legendre 多项式 Pn(x)为奇函数。第64页/共76页所以，当n=0 时，一次勒让德(Legendre)多项式 P1(x)=x的零点（Gauss点）x0=0，取其为求积节点，由得A0=2。从而得到一点Gauss-Legendre 求积公式第65页/共76页当n=1时，二次勒让德（Legendre）多项式 它有两个零点(Gauss点),取它们为求积节点，

17、由（6.5.9）确定出A0=A1=1。从而得到二点Gauss-Legendre 求积公式 第66页/共76页常见Gauss-Legendre求积公式 一点Gauss-Legendre 求积公式二点Gauss-Legendre 求积公式 三点Gauss-Legendre求积公式 第67页/共76页15 个节点的Gauss-Legendre求积系数（真值）nxkAk0021120第68页/共76页续Gauss-Legendre求积系数（真值）nxkAk340第69页/共76页对于一般的区间a,b，可作坐标变换 得到 对上式右端的积分可采用标准Gauss-Legendre求积公式进行计算。第70页/共76页例 3.1 利用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分 结果保留六位小数。，解:令 ，则 第71页/共76页本章小结数值积分的基本概念、思想与理论数值积分公式、插值型数值积分公式、余项、代数精度、收敛阶插值型数值积分及其数值稳定性Newton-Cotes 公式，复化求积公式、变步长的求积公式、Richardson外推算法与Romberg求积公式、Gauss 求积公式第72页/共76页第73页/共76页复化梯形公式的推导利用得到BackBack第74页/共76页第75页/共76页感谢您的欣赏！第76页/共76页