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1、微积分学中，积分计算是利用 Newton Leibniz 公式：来计算的。实际问题中，由于函数 f(x)往往较复杂，通常很难或不能求原函数。第1页/共39页1、被积函数很复杂，其积分式冗长，使用时很不方便，或被积函数表达式不长，但需很高超的技巧才能求出其原函数（原函数难以求解）。例，第2页/共39页2、有些被积函数，从理论上讲其原函数一定存在，但是它们的原函数却无法用初等函数表示成有限形式。例，第3页/共39页3、实际问题中许多被积函数本身无法用解析式表示。例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：T/25100 150 200 250 300 350 400 450
2、 500 600 700 800 /J/mol.K40.5 45.6 48.3 51.4 55.3 56.4 58.9 60.1 63.2 64.9 66.2 68.1 71.2该气体的摩尔定压热容不知道该气体的与 T 的函数关系式，而实验测得该气体的与 T 的关系数据如下表所示。试计算 1 mol该气体由 25 加热至 700 所需的热量Q。第4页/共39页数 值 积 分：依据被积函数在积分区间上一些离散点的函数值来计算定积分近似值的数值方法。数值积分的基本思想：积分是和的极限第5页/共39页数值积分中，只能用 有限项的和 近似代表上面的极限，通常由函数在离散点函数值的线性组合形式给出。精确
3、积分值近似的数值积分求积系数积分节点n+1 个积分节点第6页/共39页数值积分的特点：直接用积分区间 a,b 上一些离散点函数值 f(xi)的线性组合计算定积分的近似值，从而将定积分的计算变为函数值的计算，从而避免 NewtonLeibniz公式中寻求原函数的困难，并为计算机求积分提供了可行性。第7页/共39页提高计算精度的途径：1、区间分割时要细分：只要 n 取得足够大，总能满足精度的要求，但是计算工作量将随之大大增加（例，梯形积分法）。2、用一条曲线 g(x)去逼近函数 f(x)，只要曲线近似度足够高，一般也能满足计算精度要求。第8页/共39页牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式龙贝
4、格（Romberg）算法梯形积分法辛普森（Simpson）积分法牛顿-科茨公式第9页/共39页牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式一、梯 形 积 分 法1、基本思想用直线代替曲线。2、公式第10页/共39页0 xybaf(x)3、几何意义g(x)第11页/共39页4、复合梯形求积法、思路、计算公式将 a,b 分成 n 个相等的小区间，每个区间的长度复合求积法：将积分区间分成若干小区间，在若干小区间上采用某个数值积分公式计算积分，然后相加得出新的求积公式。第12页/共39页0 xyxnx0f(x)、几何意义x1xn-1第13页/共39页5、定步长梯形求积公式当 f(x)为图象函数或表格函数
5、，因为只有确定个数的的采样点及函数值，不能在积分程序中随意变更步长而得到更多的函数值。所以一般采用定步长梯形求积公式。对实际问题，往往事先提出了明确的要求，这时要事先确定恰当的步长较困难：、步长太大，往往难以满足精度要求；、步长太小，精度可满足，但计算工作量往往过大。第14页/共39页6、变步长梯形求积公式（复化求积公式）思路：Step 1：选定一步长 h（给一 n 值），利用定步长梯形求积公式求得积分近似值 TnStep 2：将步长折半（h/2），求另一近似值 T2nStep 3：判断或是否成立No ：Tn=T2n；goto step 2Yes：go downStep 4：output T2
6、n第15页/共39页7、变 步 长复 合 梯 形 法 的递 推 算 法注意到 xk=a+kh/2(k=1 to 2n-1)、k 取偶数时，该值在计算 Tn 中已算过；、k 取奇数时，是新增加的分点；、将算过的函数值从右端求和记号中分离出来即得：第16页/共39页0 xyxnx0f(x)第17页/共39页即计算 T2n 时，在已算出 Tn 的基础上，只需算出 n 个“新分点”。计算工作量较原有计算工作量几乎少一半。第18页/共39页计算通式：第19页/共39页1、基本思想用抛物线代替曲线。2、公式二、Simpson 积分法（抛物线积分法）第20页/共39页0 xyf(x)g(x)ab3、几何意义
7、第21页/共39页4、复合抛物线积分法、思路将 a,b 分成 n（偶数）个相等的小区间，每个区间的长度积分节点：a=x0,x1,x2,xn=b小区间分为：x0,x1,x2,x2,x3,x4,xn-2,xn-1,xn第22页/共39页、计算公式、几何意义第23页/共39页5、定步长抛物线积分抛物线积分较梯形积分更精确。第24页/共39页6、变 步 长 抛 物 线 积 分思路：Step 1：给定一 n 值，从而确定一步长，利用定步长抛物线求积公式求得积分近似值 SnStep 2：将步长折半（h/2），求另一近似值 S2nStep 3：判断或是否成立No ：Sn=S2n；goto step 2Yes
8、：go downStep 4：output S2n第25页/共39页1、公式三、牛顿 科茨公式（Newton-Cotes）第26页/共39页2、复合牛顿-科茨公式第27页/共39页龙贝格算法第28页/共39页数值方法中常利用一序列 F1、F2、Fk、去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。新思路：能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列 基础上产生新的序列 ，使 比 更快地逼近精确解 F。第29页/共39页例，梯形公式将作为的一种补偿，所得值较更接近精确值。将展开，可直接验证正是所熟悉的辛普森公式第30页/共39页辛 普 森 公 式科 茨 公 式龙 贝 格 公 式同理
9、可得：第31页/共39页对于龙贝格序列，当然还可外推。便由于在一般情况下，当 n 并不很大时，Rn 已是积分精确值的近似值，而且由于舍入误差的影响，外推次数过多，效果不再明显，因此通常不再继续外推，实际使用中常使用四阶-龙贝格算法。当 m 4 时，和两个系数，第一个接近于1，第二个绝对值很小，因而构造出来的新公式与第一个公式计算结果差别不大。第32页/共39页龙 贝 格 算 法 的 计 算 顺 序：计算步骤计算步骤梯形序列梯形序列辛普森序列辛普森序列科茨序列科茨序列龙贝格序列龙贝格序列1T12T2S13T4S2C14T8S4C2R15T16S8C4R26T32S16C8R3.第33页/共39页
10、龙 贝 格 数 值 积 分 计 算 步 骤：Step 1：准备初值：用梯形求积公式求积分近似值TnStep 2：按变步长梯形法则计算积分近似值T2n第34页/共39页Step 3：用三个加速公式求加速度第35页/共39页Step 4：精确控制：前后两个积分值 Rn、R2n 满足Step 5：判断No ：Tn=T2n；Sn=S2n；Cn=C2n；Rn=R2n；goto step 2、当满足、或当满足Yes：go downStep 6：output R2n第36页/共39页优点：系数有规律，不需存贮求积系数，占用存贮单元少，收敛速度快，精度高，适合在计算机上应用。缺点：每当把区间对分后，就需对被积函数 f(x)计算它在新分点处的函数值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。程序例子：P207第37页/共39页作业：将P207的程序改为求解积分eps=0.000001结果（0.1115718）第38页/共39页感谢您的观看。第39页/共39页