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1、1q 矩形法u 定积分的定义：定积分的近似计算第1页/共31页2矩形法n 充分大，x 充分小u 定积分的近似：l 通常我们取左点法右点法中点法l 点 可以任意选取，常见的取法有：左端点 ，右端点 和中点 。第2页/共31页3步长节点u 右点法：u 中点法：u 左点法：左点法、右点法和中点法第3页/共31页4解：矩形法举例=h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100 u 例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取 n=100)，并比较这三种方法的相对误差。l 左点法：l 右点法：l 中点法：(i=0,1,2,.,100)第4页/共31页5l 理论值：l 左点法相对误差：u 误
2、差分析矩形法举例l 右点法相对误差：l 中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法?第5页/共31页6定积分几何意义第6页/共31页7u 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似u 整个曲边梯形的面积：梯形法第7页/共31页8u 如果我们 n 等分区间 a,b，即令：则=梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别?第8页/共31页9解：=u 例：用梯形法计算下面定积分(取 n=100)，并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)=h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)l 相对误差：第9页/共31页10u
3、2n 等分区间 a,b，得该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？u 计算每个节点上的函数值：抛物线法u 在区间 x0,x2 上，用过以下三点的抛物线来近似原函数 f(x)。第10页/共31页11u 设过以上三点的抛物线方程为：则在区间 x0,x2 上，有y=x2+x+=p1(x)抛物线法第11页/共31页12u 同理可得：u 相加即得：抛物线法第12页/共31页13u 整理后可得：或辛普森(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法第13页/共31页14=u 例：用抛物线法计算下面定积分(取 n=100)，并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)l 相
4、对误差：抛物线法第14页/共31页15u 梯形法：trapztrapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。q Matlab 近似计算定积分的相关函数Matlab 计算定积分函数介绍第15页/共31页16前面的做法u 例：用梯形法计算下面定积分(取 n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)x=0:1/100:1;y=1./(1+x.2);trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.2)trapz 举例第16页/共31页17quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，a,b 为积
5、分区间，tol 为计算精度将自变量看成是向量u 抛物线法：quadl 不用自己分割积分区间l 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函数运行的时间越长l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./，.，.注：抛物线法第17页/共31页18解：quad(1./(1+x.2),0,1)quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10)quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16)函数表达式一定要用 单引号 括起来！涉及的运算一定要用 数组运算！u 例：用 quad 计算定积分：quad 举例第18页/共31页19q 抛物线法计算二重积分
6、：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6u f(x,y)可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面二重积分的计算第19页/共31页20 f=inline(4*x*y+3*y2);I=dblquad(f,-1,1,0,2)u f(x,y)中关于第一自变量的运算是数组运算，即把 x 看成是向量，y 看成是标量。也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分 dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-
7、1,1,0,2)dblquad(inline(4*x.*y+3*x.2),-1,1,0,2)例1：计算二重积分dblquad 举例第20页/共31页21例：计算二重积分 dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2)指定 x、y 分别是第一和第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)q 被积函数 f(x,y)的另一种定义方法：匿名函数 dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2)下面的命令运行结果和上面的一样吗？dblquad 举例第21页/共31页22q 抛物线法计算二重积分：triplequadtrip
8、lequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)u tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6u f(x,y)可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间，e,f 是第三积分变量的积分区间，三重积分的计算第22页/共31页23 f=inline(y*sin(x)+z*cos(x);I=dblquad(f,0,pi,0,1,-1,1)例1：计算三重积分triplequad 举例 Q=triplequad(.(x,y,z)(y*sin(x)+z*cos(x),.0,pi,0,1,-1,1)第23页/共31页2
9、4triplequad 举例 f=inline(x*y*z)2);I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)例1：计算三重积分 f=inline(x.*y.*z).2);I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)f=inline(x.*y*z).2);I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)第24页/共31页25int(f,a,b)计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。int(f)计算 f 关于默认自变量 的不定积分。int(f,v,a,b)计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a,bint(f,v)计算函数 f 关于自变量 v 的不定积
10、分findsym(f,1)q 符号积分：intint 符号积分第25页/共31页26 syms x y;f=y*sin(x);int(f,x)int(f,y)int(f)int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b2u 例：指出下面各条语句的输出结果int 举例第26页/共31页27u 例：用 int 函数计算定积分：解：syms x;f=1/(1+x2);int(f,x,0,1)f=sym(1/(1+x2);int(f,x,0,1)int(1/(1+x2),x,0,1)或 int(1/(1+x2),0,1)或
11、或int 举例第27页/共31页28double(a)将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码 a=3;double(a)double(a)例：ans=3ans=97其它相关函数第28页/共31页29 x=1:0.001:2;y=exp(x.(-2);trapz(x,y)l 梯形法：l 抛物线法：quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符号积分法：syms x int(exp(x(-2),x,1,2)例 1：用 Matlab 函数近似计算积分数值实验第29页/共31页30l 抛物线法：dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1)l 符号积分法：f=int(x+y2,y,-1,1);int(f,0,2)数值实验例 2：用 Matlab 函数近似计算二重积分第30页/共31页31感谢您的欣赏！第31页/共31页