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1、第一节多元函数的基本概念现在学习的是第1页，共30页v 预备知识预备知识 v 多元函数的极限多元函数的极限第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法v 多元函数的连续性多元函数的连续性第一节上页上页下页下页返回返回结束结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念v 多元函数的概念多元函数的概念现在学习的是第2页，共30页1.邻域邻域一、预备知识一、预备知识 设设P0(x0，y0)是是x o y 平面上的一个点，平面上的一个点，是某一正数，与是某一正数，与点点P0(x0，y0)的距离小于的距离小于的点的点P（x，y）的全体，称为点）的全体，称为点P0（x0，y0）的邻域，记为）的邻域，记为U(P0
2、,)，即，即 上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第3页，共30页2.区域区域（1）内点和开集）内点和开集 设设E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如是平面上的一个点。如果存在点果存在点 P 的某一邻域的某一邻域U(P)E，则称，则称P为为E 的内点的内点.E 的内点属于的内点属于E.如果属于点集如果属于点集E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称E为开集为开集.上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第4页，共30页（2）边界点和边界）边界点和边界 如果点如果点P 的任一个邻域内既有属于的任一个邻域内既有属于E 的点，也有不的点，也有不属于属于E
3、的点（点的点（点P 本身可以属于本身可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E），），则称则称P 为为E 的边界点的边界点.E 的边界点的全体为的边界点的全体为E 的边界的边界.上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第5页，共30页说明：说明：E 的边界点可能属于的边界点可能属于E，也可能不属于，也可能不属于E.例如例如,对于集合对于集合E 的边界为的边界为其中边界点其中边界点都不属于都不属于E，而边界点而边界点都属于都属于E.上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第6页，共30页D（3）连通）连通 设设D是点集，如果对于是点集，如果对于D内任何两点，都可用折线连接起内任何两点，
4、都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于来，且该折线上的点都属于D，则称点集，则称点集D是连通的。是连通的。（4）开区域和闭区域）开区域和闭区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域区域上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第7页，共30页例如，例如，开区域开区域闭区域闭区域上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第8页，共30页 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开区域是最大的开区域,也是最大的闭区域；也是最大的闭区域；但非区域但非区域.oE U（O，r），其中
5、），其中O 是坐标原点，则称是坐标原点，则称E为有界集为有界集.否则称否则称E为无界集为无界集.（5）有界集与无界集）有界集与无界集对于平面点集对于平面点集E,若存在某一正数若存在某一正数 r,使得使得上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第9页，共30页是有界闭区域；是有界闭区域；是无界开区域是无界开区域例如，例如，上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第10页，共30页（6）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：边界点一定是聚点；边界点一定是聚点；设设E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，是平面上的一个点，如果点如果点P的任何一个邻
6、域内总有无限多个点属于点集的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称，则称P为为E 的聚点。的聚点。点集点集E 的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第11页，共30页3.n3.n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们用为取定的一个自然数，我们用Rn表示表示n 元有序数元有序数组组 的全体所构成的集合，称其为的全体所构成的集合，称其为n 维空间，维空间，即即上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第12页，共30页 从而可定义从而可定义n 维空间中的领域、内点、边界点、区域、维空间中的领域、内点、边界点、区域、
7、聚点等概念聚点等概念下面给出下面给出 n 维空间中两点间距离公式的定义维空间中两点间距离公式的定义.特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、空时，便为数轴、平面、空间两点间的距离间两点间的距离设设为为n 维空间中两点，维空间中两点，定义这两点的距离公式为定义这两点的距离公式为定义：定义：上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第13页，共30页二、多元函数的概念二、多元函数的概念引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 长方体的质量长方体的质量 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式记密度为记密度为d上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第14页，共30页设设 D D 是是是是R R
8、2 的一个非空子集，若存在对应法则的一个非空子集，若存在对应法则 f f ，点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域.则称则称 f 为定义在为定义在 D 上的上的 二元函数二元函数,记作记作上页上页下页下页返回返回结束结束 对任意的对任意的,总有唯一确定的总有唯一确定的z 值与之对应，值与之对应，定义定义x,y 称为称为自变量自变量,z 称为称为因变量因变量;现在学习的是第15页，共30页例如，例如，例如，例如，二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域 2.二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上
9、半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .上页上页下页下页返回返回结束结束 注：注：1.类似可定义三元函数以及三元以上的函数类似可定义三元函数以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.现在学习的是第16页，共30页例例1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第17页，共30页三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义：定义：为为 D 的聚点，若的聚点，若 D 中的点中的点P(x,y)按任意方式趋于按任意方式趋于P0时，时，上页上页下页下页返回返回结束结束 函数函数f(x,y)总趋
10、向于某个确定的数值总趋向于某个确定的数值A，则称，则称 A 为函数为函数时的时的极限极限（二重极限）（二重极限），f(x,y)当当或或或或设二元函数设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为D，P0(x0,y0)定义定义(略略)记作记作现在学习的是第18页，共30页上页上页下页下页返回返回结束结束 注：注：1.上述二重极限存在与否与上述二重极限存在与否与f(x,y)在在P0(x0,y0)是否是否有定义无关有定义无关.表示点表示点P 以任何方式以任何方式趋向于趋向于时函数的极限值都等于时函数的极限值都等于A.选择一条路径，使得极限不存在；选择一条路径，使得极限不存在；故验证二重极限故
11、验证二重极限不存在，方法有二：不存在，方法有二：选择不同路径，使得极限不相等选择不同路径，使得极限不相等.2.现在学习的是第19页，共30页解解 沿曲线沿曲线不存在不存在.取极限取极限故原极限不存在故原极限不存在.例例1.验证极限验证极限上页上页下页下页返回返回结束结束 现在学习的是第20页，共30页取取 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x3 趋于点趋于点(0,0),则有则有在点在点(0,0)的极限的极限.k 值不同，极限值不同值不同，极限值不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.例例例例2.讨论函数讨论函数讨论函数讨论函数上页上页下页下页返回返回结束结束 解：解：现在学习的是第21页
12、，共30页二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可借助一元函数求极限的等均与一元函数类似，可借助一元函数求极限的方法求一些简单的二元函数的极限方法求一些简单的二元函数的极限.例例4.求极限：求极限：解：解：原式原式上页上页下页下页返回返回结束结束 例例3.求极限：求极限：解：解：（注：不能用取特殊路径来（注：不能用取特殊路径来（注：不能用取特殊路径来（注：不能用取特殊路径来求极限值！）求极限值！）求极限值！）求极限值！）现在学习的是第22页，共30页解解 原式原式例例5.求极限求极限上页上页下页下页返回返回结束结束 有理化有理化注：注：二元
13、函数求极限不能用洛比达法则二元函数求极限不能用洛比达法则.现在学习的是第23页，共30页例例6.函数函数函数函数解：由夹逼准则，得由夹逼准则，得由夹逼准则，得由夹逼准则，得，求，求，求，求现在学习的是第24页，共30页四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性设二元函数设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为 D,如果如果则称函数则称函数 f(x,y)在点在点P0(x0,y0)连续连续.若若f(x,y)在点在点上页上页下页下页返回返回结束结束 定义：定义：P0 (x0,y0)不连续不连续,则称则称 P(x0,y0)为函数的为函数的间断点间断点.现在学习的是第25页，共30页例如例如
14、,函数函数函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周上页上页下页下页返回返回结束结束 见例见例2注：注：二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线.现在学习的是第26页，共30页上页上页下页下页返回返回结束结束 区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的连续曲面连续曲面.如果函数在如果函数在D 上各点处都连续上各点处都连续,则称此函数则称此函数在在D上连续上连续.定理定理 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在
15、定义区域内连续.现在学习的是第27页，共30页性质性质1（有界性与最大最小值定理）（有界性与最大最小值定理）闭区域闭区域上多元连续函数的性质上多元连续函数的性质:上页上页下页下页返回返回结束结束 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必在上的多元连续函数，必在D上有界，上有界，且能取得它的最大值和最小值且能取得它的最大值和最小值.性质性质2（介值定理）（介值定理）在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值值和最小值之间的任何值.现在学习的是第28页，共30页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义内容小结内容小结现在学习的是第29页，共30页思考题思考题若点（若点（x,y）沿着无数多条平面曲线趋向于点（）沿着无数多条平面曲线趋向于点（x0,y0）时，函数时，函数 f（x,y）都趋向于）都趋向于A，能否断定，能否断定？现在学习的是第30页，共30页