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1、第一节_多元函数的基本概念第1页，共49页，编辑于2022年，星期一（1）邻域）邻域一、多元函数的概念第2页，共49页，编辑于2022年，星期一（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集第3页，共49页，编辑于2022年，星期一第4页，共49页，编辑于2022年，星期一连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，第5页，共49页，编辑于2022年，星期一有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，第6页，共49页，编辑于2022年，星期一（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例
2、例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第7页，共49页，编辑于2022年，星期一 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第8页，共49页，编辑于2022年，星期一（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 第9页，共49页，编辑于2022年，星期一 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间
3、两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为第10页，共49页，编辑于2022年，星期一（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第11页，共49页，编辑于2022年，星期一例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第12页，共49页，编辑于2022年，星期一（如下页图）（如下页图）第13页，共49页，编辑于2022年，星期一二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第14页，共49页，编辑于2022年，星期一例如例如
4、,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:第15页，共49页，编辑于2022年，星期一二、多元函数的极限第16页，共49页，编辑于2022年，星期一说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第17页，共49页，编辑于2022年，星期一例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立第18页，共49页，编辑于2022年，星期一例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第19页，共49页，编辑于202
5、2年，星期一例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第20页，共49页，编辑于2022年，星期一不存在不存在.观察观察播放播放第21页，共49页，编辑于2022年，星期一确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第22页，共49页，编辑于2022年，星期一利用点函数的形式有利用点函数的形式有第23页，共49页，编辑于2022年，星期一三、多元函数的连续性定义定义3 3第24页，共49页，编辑于2022年，星期一例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取第25页，共49页，编辑于2022年，星期一
6、故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时第26页，共49页，编辑于2022年，星期一例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第27页，共49页，编辑于2022年，星期一闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，上的多元连续函数，在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，上的多元连续函数，（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理在在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上
7、至少取得它的最大值和最小值各一次如果在如果在D D上取得两个不同的函数值，上取得两个不同的函数值，则它在则它在D D上取得介于这两值之间的任何值至少一次上取得介于这两值之间的任何值至少一次第28页，共49页，编辑于2022年，星期一（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定在上的多元连续函数必定在D D上一致连续上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数表示的多元函数叫多
8、元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第29页，共49页，编辑于2022年，星期一例例解解第30页，共49页，编辑于2022年，星期一多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义第31页，共49页，编辑于2022年，星期一思考题思考题第32页，共49页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取第33页，共49页，编辑于2022年，星期一练练 习习 题题第34页，共49页，编辑于2022年，星期一第35页，共49页，编辑于2022年，星期一第36页，共49页，编辑于2022年，星期一练习题答案练习题答案第37页，共49页，编辑于2022年，星期一