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1、第一节多元函数的基第一节多元函数的基本概念本概念第1页，本讲稿共33页一、多元函数的概念一、多元函数的概念（1 1）邻域）邻域回忆回忆第2页，本讲稿共33页（1）邻域一、多元函数的概念第3页，本讲稿共33页（2）区域例如，例如，即为即为开集开集内点内点.内点：内点：开集：开集：开集开集.第4页，本讲稿共33页边界点：边界点边界点.连通：连通：连通的连通的.第5页，本讲稿共33页开区域：连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，闭区域：闭区域：第6页，本讲稿共33页对于点集对于点集 E，如果存在正数，如果存在正数 K，使一切点，使一切点 PE 与某一点与某一点 A 间的距离间的距离|AP
2、|不超过不超过 K，即，即对于一切点对于一切点 PE 成立，则称成立，则称 E 为为有界点集有界点集。否则称为否则称为无界点集无界点集.有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，第7页，本讲稿共33页（3）聚点（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点补充第8页，本讲稿共33页（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界
3、上的点都是聚点也都属于集合（1）内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点第9页，本讲稿共33页（4）n 维空间实数实数 x一一对应数轴点数轴点.数组数组(x,y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应平面点平面点(x,y)全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)数组数组(x,y,z)一一对应空间点空间点(x,y,z)全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)推广推广：n 维数组维数组(x1,x2,xn)全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为第10页，本讲稿共33页n 维空间中两点间距离公式 设两点为设
4、两点为特殊地，当特殊地，当 n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离点间的距离n 维空间中维空间中邻域邻域概念：概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义第11页，本讲稿共33页（5）二元函数的定义回忆回忆点集点集 D-定义域定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.第12页，本讲稿共33页类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数点集 D-定义域，-值域.x、y-自变量，z-因变量.函数的函数的两个要素两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.第13页，本讲稿共33
5、页与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1 求 的定义域解解所求定义域为所求定义域为第14页，本讲稿共33页（6）二元函数 的图形（如下页图）（如下页图）第15页，本讲稿共33页二元函数的图形通常是一张曲面.第16页，本讲稿共33页例如例如,图形如右图图形如右图.例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:第17页，本讲稿共33页二、多元函数的极限二、多元函数的极限第18页，本讲稿共33页利用点函数的形式有第19页，本讲稿共33页说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2 2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限
6、也叫二重极限二重极限（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义：0，P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0,)。在在U(P0,)内，函数内，函数的图形总在平面的图形总在平面及及之间。之间。第20页，本讲稿共33页例2 求证 证证当 时，原结论成立原结论成立第21页，本讲稿共33页注意：是指 P 以任何方式趋于P0.一一元元中中多多元元中中第22页，本讲稿共33页确定极限不存在的方法：第23页，本讲稿共33页例3 设解解但取但取其值随其值随 k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在故故第24页，本讲稿共33
7、页例4 求解解第25页，本讲稿共33页例5 求极限 解解其中其中第26页，本讲稿共33页三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3定义定义33第27页，本讲稿共33页注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。例如，例如，因此，因此，第28页，本讲稿共33页多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫示的多元函数叫多元初等函数多
8、元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：第29页，本讲稿共33页例6 求极限 解解是多元初等函数。是多元初等函数。定义域：定义域：于是，于是，（不连通）（不连通）第30页，本讲稿共33页例解解第31页，本讲稿共33页闭区域上连续函数的性质在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2 2）介值定理介值定理第32页，本讲稿共33页四、小结四、小结多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义作业：作业：P 12 2，4（1），（），（3），（），（5）5，6，7第33页，本讲稿共33页