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1、在过去的三百在过去的三百多年里，人们多年里，人们分别在下列时分别在下列时间里观测到了间里观测到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062主持人问主持人问:最近的时间什么最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说天文学家陈丹说:20622062年左年左右。右。相差相差76通常情况下，从地面通常情况下，从地面到到10公里的高空，气公里的高空，气温随高度的变化而变温随高度的变化而变化符合一定的规律，化符合一定的规律，请你根据下表估计一请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的下珠穆朗玛峰峰顶的温
2、度。温度。8844.43米高度(km)温度()1232821.515458.529-24(2)28,21.5,15,8.5,2,-24.减少减少6.5观察与思考观察与思考：下面的几个数列：下面的几个数列：（1）1，3，5，7，9，11，（2）3，6，9，12，15，18，（3）1，1，1，1，1，1，1，（4）3，0，3，6，9，12，问题：这些数列有何特点？问题：这些数列有何特点？特点：从第特点：从第2项起，每一项与项起，每一项与前前一项的差都等于一项的差都等于同一个常数同一个常数对于数列（对于数列（1），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于2;对于数
3、列（对于数列（2），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于3;对于数列（对于数列（3），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于0 0;对于数列（对于数列（4），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于-3.一、等差数列的定义一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第二项起从第二项起，每一项与它的，每一项与它的前一项的差等于前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差等差数列数列，这个常数叫做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公差
4、公差，公差通常用字母，公差通常用字母d 表示表示.如果等差数列如果等差数列 的首项是的首项是 ，公差是，公差是 ，那么根，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：据等差数列的定义可以得到以下结论：数列数列 为等差数列为等差数列对等差数列的定义的理解对等差数列的定义的理解1如果一个数列，如果一个数列，不是从第不是从第2项起，项起，而是而是 从第从第3项起或第项起或第4项起，每一项与它前一项起，每一项与它前一 项的差是同一个常数，那么这个数列不项的差是同一个常数，那么这个数列不 是等差数列是等差数列 2一个数列从第一个数列从第2项起，每一项与它前一项起，每一项与它前一 项的差尽管等于常数，这个数列
5、也不一项的差尽管等于常数，这个数列也不一 定是等差数列，因为这些定是等差数列，因为这些常数不一定相常数不一定相 同同当这些常数不同时，此数列不是等当这些常数不同时，此数列不是等 差数列差数列 对等差数列的定义的理解对等差数列的定义的理解3求公差时，要注意相邻两项相减的顺序求公差时，要注意相邻两项相减的顺序 d=an+1-an或或d=an-an-1(n2)后后-前前 4.要判断一个数列是不是等差数列，只要要判断一个数列是不是等差数列，只要 看对于任意正整数看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通，是不是通 一个常数，切记不可通过计算一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2 等有限的几
6、个式子的值后，发现它一个等有限的几个式子的值后，发现它一个 常数，就得出该数列为等差数列的结论常数，就得出该数列为等差数列的结论5.5.常数列常数列一定是一定是等差数列等差数列6.6.等差数列公差等差数列公差d d的讨论的讨论33种种例例1、判断下面数列是否为等差数列判断下面数列是否为等差数列.（2 2）不是）不是.因为从第因为从第2项起后项与前项的差是：项起后项与前项的差是：1，2，3，4，5，是常数，但不是同一常数是常数，但不是同一常数.解：解：（1 1）是）是.因为从第因为从第2项起后项与前项的差都是项起后项与前项的差都是1，符，符 合等差数列的定义合等差数列的定义.（3 3）是）是.因
7、为从第因为从第2项起后项与前项的差都是项起后项与前项的差都是0，符，符 合等差数列的定义合等差数列的定义.注注：1、等差数列要求从第、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项项起，后一项与前一项作差作差作差作差.2、作差的结果要求是、作差的结果要求是同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数.可以是整数，也可以是整数，也可以是整数，也可以是整数，也 可以是和负数可以是和负数可以是和负数可以是和负数.例例2、观察下列数列是否是等差数列观察下列数列是否是等差数列例例3、数列数列a，2a，3a，4a，是等差数列（是等差数列（）若若anan+1=3(nN*)，则则an是公差为是公差为3 的等差数列。的等差
8、数列。（）（）若若a2a1=a3a2,则数列则数列an是等差数是等差数 列列 （）（）小结：证明一个数列是等差数列的方法是：小结：证明一个数列是等差数列的方法是：思考思考1 1：既然（既然（1 1）是等差数列，请你动手求数列）是等差数列，请你动手求数列（1 1）的第）的第20042004项项思考思考3 3：求等差数列求等差数列1010，8 8，6 6，44的第的第2020项？项？20042004项？项？思路是什么？思路是什么？思考思考4 4：能否从思考能否从思考1 1的角度出发，考虑思考的角度出发，考虑思考2 2的具体做法？的具体做法？思考思考2 2：思考思考1 1是什么类型的问题？已知什么是
9、什么类型的问题？已知什么？求的是什么？求的是什么？思考思考5 5：问题转化为问题转化为如何求等差数列的通如何求等差数列的通项公式项公式问题：已知等差数列问题：已知等差数列an的首项为的首项为a1，公差为公差为d，求，求an解法一：解法一：由等差数列的定义可知：由等差数列的定义可知：a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,则则 a2=a1d a3=a2d=（a1d）d=a12d a4=a3d=（a12d）d=a13d 由此可知：由此可知：an=a1（n1）d当当n=1时时,a1=a1（11）d=a1 等式成立等式成立这表明当这表明当n N*时，时，an=a1（n1）d成立。成立。解法二：解法二
10、：等差数列等差数列 an 的首项是的首项是 a1,公差是公差是d，如：如：那麽，则由定义得：那麽，则由定义得：a2-a1=d (1)a3-a2=d (2)a4-a3=d (3)a5-a4=d (4)、an-a n-1=d分析：分析：如果把左边由（如果把左边由（1）式）式到最后一个式子，共到最后一个式子，共_个式个式子相加，则有：子相加，则有：n-1 等号左边为：等号左边为：an-a1,等号右边为：等号右边为：(n-1)d所以：所以：an-a1=(n-1)d ,即即 an=a1+(n-1)d 当当n=1时，上式两边都等于时，上式两边都等于 a1。nN*，公式成立。公式成立。等差数列的通项公式是等
11、差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d等差数列中等差数列中a a1 1=1,d=2=1,d=2an =关键求出关键求出a a1 1和和d d1+（n-1）2=2n-1通项公式中有几个量？通项公式中有几个量？a a1 1,d,a,d,an n，n n的含义？的含义？已知其中已知其中三三个量就可以求出第个量就可以求出第四四个个二二.思考思考2.如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数A，使，使a,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A应该满足什应该满足什么条件？么条件？分析：分析：由由a,A,b成等差数列得：成等差数列得：成等差数列成等差数列.反之，若反之，若即即a,A,b成等
12、差数列成等差数列.由三个数由三个数a，A，b组成的等差数列可组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，以看成最简单的等差数列，这时，A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的都是它的前一项与后一项的等差中项等差中项.等差中项：等差中项：在等差数列在等差数列an中，中，若若mnpq,则则amanapaq.等差中项：等差中项：数列：数列：1，3，5，7，9，11，13a2a4a1a5a4a6a3a75是是3和和7的等差中项，的等差中项，1和
13、和9的等差中项；的等差中项；9是是7和和11的等差中项，的等差中项，5和和13的等差中项的等差中项.（一）求通项（一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1,d=2,则 an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20(第20项)。解：a1=8,d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列3，7，11，则 an=_ a4=_ a10=_a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(nN N*)4n-11539 求等差数列求等差数列 10，8，6，4，的第的第20项和第项和第2004项。项。分析：
14、根据a1=10，d=-2，先求出通项公式an，再求出a20解：a1=10,d=8-10=-2，n=20 由an=a1+(n-1)d 得 a20=a1+(n-1)d =10+(20-1)(-2)=-28(二二)求首项求首项a1例如：已知a20=49,d=3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_6a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(nN N*)(三三)求项数求项数n 例如：已知等差数列8，5，2问49是第几项?解：a1=8,d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20。a an n=a=a1 1+(n+(
15、n1)d(n1)d(nN N*)问400是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则由由题题意意知知，本本题题是是要要回回答答是是否否存存在在正正整整数数n，使得，使得 400=5+(n1)(4)成立成立所以400不是这个数列的项a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(nN N*)解之得 n=4399解：a1=-5,d=-9-(-5)=-4 an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1 -401=-4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。分析：根据a1=-5，d=-4，先求出通项公式an，再把 401代入，然后
16、看是否存在正整数n。-401是不是等差数列 5 ，-9 ，-13 ，的项？如果是，是第几项？解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900 练习：练习：10 100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，的项？如的项？如果是，是第几项？果是，是第几项？如果不是，说明理由如果不是，说明理由.20 在正整数集合中，有多少个三位数？在正整数集合中，有多少个三位数？30 在三位正整数集合中有多少个是在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？的倍数？解解
17、3 3：这些数组成首项：这些数组成首项a a1 1=105,=105,公差公差 d=7d=7的等差数列。的等差数列。a an n=105+(n=105+(n1)1)7 7 又又a an n999999 即即 105+(n105+(n1)1)7999 7999 解得解得 n128n128n nN N*n n最大为最大为128128，故共有故共有128128个。个。75解1：第15项(四四)求公差求公差d例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由题意知 a1=33
18、,a12=110,n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。总结：在 an=a1+(n1)d nN*中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(nN N*)即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是2，公差是，公差是3.例例1、在等差数列在等差数列 中，已知中，已知 求首项求首项 与公差与公差d.解：由题意可知解：由题意可知解得：解得：注：注：等差数
19、列的通项公式等差数列的通项公式 a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d 中，中，a an n,a,a1 1,n,n，d d 这四个变量这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余，知道其中三个量就可以求余下的一个量，下的一个量，知三求一知三求一.解：由题意可得 a1+5d=12 (1)a1+17d=36 (2)an=2+(n-1)2=2n a1=2 d=2 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。变式、变式、在等差数列在等差数列aan n 中中 ，已知，已知a a6 6=12=12，a a1818=36,=36,求通项求通项a an n。分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d 中，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d。*