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1、19.2.1 19.2.1 矩形判定矩形判定复习回顾复习回顾四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。边边角角对角线对角线矩形对边平行且相等；矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角；矩形的对角线矩形的对角线相等相等且平分；且平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ABCD直角三角形斜边上的中线性质直角三角形斜边上的中线性质四边形四边形A
2、BCD是矩形是矩形1若已知若已知AB=8，AD=6，2则则ACOB=2若已知若已知CAB=40，则则OCB=3OBA=AOB=AOD=3若已知若已知AC10，BC=6，则矩形的周长则矩形的周长4矩形的面积矩形的面积254若已知若已知DOC=120，AD6，则，则AC=ODCBA550101004012482880试一试试一试试试一一试试DCBA已知已知ABC是是Rt，ABC=Rt，BD是斜边是斜边AC上的中线上的中线1若若BD=3则则AC22若若C=30，AB5，则，则AC，3BD，BDC6510120矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。
3、你还有其它的判定方法吗？你还有其它的判定方法吗？ABCDA=900四边形四边形ABCD是矩形是矩形情境一情境一：工人师傅为了检：工人师傅为了检验验两组对边相等两组对边相等的四边形窗的四边形窗框是否成矩形，一种方法是框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对量一量这个四边形的两条对角线长度，如果角线长度，如果对角线长相对角线长相等等，则窗框一定是矩形，你，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？知道为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形。命题命题：对角线相等的平行四边形是矩形。：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=
4、BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明AB=CD,BC=BC（平行四边形对边相等）（平行四边形对边相等）ABC DCB（SSS）四边形四边形ABCD是平行四边（已知）是平行四边（已知）在在ABC和和DCB中中AB=CD（已证（已证）BC=BC（已证）（已证）AC=BD（已知）（已知）ABC=DCB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）又又 ABC+DCB=180（平行四边形邻角互补）（平行四边形邻角互补）ABC=90（等式的性质）（等式的性质）又又四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形（已知）（已知）四边形四边形ABCD是矩形（是矩形（矩形的定义
5、）矩形的定义）ABCD对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法：矩形的判定方法：几何语言：几何语言：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AC=BD四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或（或OA=OC=OB=OD）情境一情境一：李芳同学有：李芳同学有“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，这样四步，画出了一个四边形，她说这画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？吗？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形
6、是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？矩形的判定方法：矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD A=B=C=90四边形四边形ABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：（1 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。）对角线相等的平行四边形是矩形。四边形四边形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？归纳矩形的几种判定方法吗？（对角线相等且互相平分的四边
7、形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）下列各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩
8、）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX例例1：如图，：如图，M为平行四边形为平行四边形ABCD边边AD的中点，且的中点，且MB=MC，求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCDM例例2 2：已知：如已知：如图图，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，AB CD AB CD 且且1=1=2 2。求求证证：四：四边边形形ABCDABCD是矩
9、形是矩形3、已知：矩形的对角线、已知：矩形的对角线ABCDABCD的的对对角线、相交于点，点、角线、相交于点，点、分别在、分别在、上，且。上，且。求证：求证：四边形是矩形四边形是矩形A A例例4：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形么这个四边形是矩形已知：如图，已知：如图，ABCD的四个内角的平的四个内角的平分线分别相交于分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形求证：四边形EFGH为矩形为矩形BGC=90同理可证同理可证AFB=AED=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形有三个
10、角是直角的四边形是矩形)证明：证明：ABCDABCBCD=180BG平分平分ABC，CG平分平分BCD书本：书本：P106：1、2、34、已知、已知MNPQ，同旁内角的平分线，同旁内角的平分线AB、BC和和AD、CD分别相交于点分别相交于点B、D（1）说说）说说AB和和CD、BC和和AD的位置关系？。的位置关系？。（3）ABC、BCD、CDA、DAB各等各等于多少度？于多少度？（4）你能判定四边形）你能判定四边形ABCD是矩吗？为什么？是矩吗？为什么？（4）AC和和BD有怎样的大小关系？为什么？有怎样的大小关系？为什么？有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线
11、相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形。方法方法1：方法方法2：方法方法3：自我诊断1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A 对角线相等 B 对角线垂直C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 cm3、如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是 EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A 平行四边形 B 矩形 C 不能确定 C5B4 4：已知已知:如如图图,四四边边形形ABCDABCD的的对对角角线线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACACBDBD。E E、F F、G G、H H分分别别是是ABAB、BCBC、CDCD、ADAD的中点。的中点。求求证证：四：四边边形形EFGHEFGH是矩形是矩形