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1、决策分析决策分析Decision AnalysisDecision Analysis课程要求：1、听课不用记笔记。不点名。2、作业全部做成电子文档，用Email递交，作业记成绩，占课程成绩的30。3、考试闭卷。卷面成绩占课程成绩的70。教师信息：管理学院 蒋绍忠电子邮件：办公室：玉泉校区行政楼319办公电话：87952181第二部分多目标决策v基本概念v层次分析法v目标规划第一部分不确定型和风险型决策v不确定型决策v风险型决策目 录不确定型和风险型决策q决策的定义：在一定的环境中，决策者在若干可以采取的方案中决定其中的一种并加以实施，使实施的结果对预定的目标最好。q决策的要素：v决策者：单一决
2、策者 多个决策者（群决策）v决策环境：确定性环境 不确定性环境 风险环境 v决策目标：单目标 多目标决策（Decision）和对策（Game）“决策”是具有能动性的一方决策者和变化的，但没有能动性的另一方决策环境之间的“较量”。决策环境是变化的，但这些变化和决策者的决策无关。“对策”是具有能动性的一方和同样具有能动性的另一方之间的“较量”。两方都会根据对方的决策，调整自己的行为，使结果对自己有利或使对方不利。研究对策的科学称为对策论或博弈论（Game Theory）。我国古代的“田忌赛马”就是一个对策的例子。对策最简单的例子是所谓“二人零和对策”。乙方A2B2C2甲方A16-416B1-332
3、3C115-15D1-2434-3-4-1极大极大/极小极小准则：双方都以自己获利最大为准则。甲：Maxmax(6,-4,1),max(-3,3,2),max(1,5,-1),max(-2,4,3)=Max6,3,1,4=6乙：Minmin(6,-3,1,-2),min(-4,3,5,4),min(1,2,-1,3)=Min-3,-4,-1=-4A1B2C1 C2 D1 A2 A1不存在稳态解。乙方A2B2C2甲方A16-41-4B1-332-3C115-1-1D1-243-2653极小极大准则：双方都以自己可能遭遇的各种最坏情况下争取最好结果为准则。甲：Maxmin(6,-4,1),min(
4、-3,3,2),min(1,5,-1),min(-2,4,3)=Max-4,-3,-1,-2=-1乙：Minmax(6,-3,1,-2),max(-4,3,5,4),max(1,2,-1,3)=Min6,5,3=3稳态解为C1-C2。确定环境下的决策运筹学中线性规划、非线性规划和动态规划都是确定环境下的决策方法不确定环境下的决策 决策者面临的决策环境由一些自然状态组成，决策者可以采取若干决策方案，每一种决策方案在不同的自然状态下出现的结果是已知的，但决策者不能预先估计各种自然状态出现的概率。不确定决策的几种准则：v悲观准则v乐观准则v等可能性准则v乐观系数准则v后悔值准则悲观准则：最坏的情况下
5、争取最好的结果悲观准则：最坏的情况下争取最好的结果例例1.1.某工厂决定投产一种新产品。投产以后销售情况有某工厂决定投产一种新产品。投产以后销售情况有好、中等、差三种可能，但厂家目前无法估计这三好、中等、差三种可能，但厂家目前无法估计这三种情况出现的概率。产品的生产批量有大中小三种种情况出现的概率。产品的生产批量有大中小三种选择。不同的生产批量在不同的市场销售情况下企选择。不同的生产批量在不同的市场销售情况下企业的收益如下表：业的收益如下表：收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3MinMax(min)大批量（S1）500300-250-250100中批量（S2）3002008080小批量（
6、S3）200150100100*按照这个准则，最优决策是小批量生产收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3Max Max(max)大批量（S1）500300250500*500中批量（S2）30020080300小批量（S3）200150100200乐观准则：最好的情况下争取最好的结果按照这个准则，最优决策是大批量生产讨论：你认为悲观和乐观的决策准则在实际决策问题可行吗？有那些不足？悲观准则和乐观准则都假定，决策环境是不确定的，而不确定的决策环境中可能出现的各种状态的可能性是不可知的或不可度量的。如果这些状态出现的可能性是可以度量的，决策问题就转变成为风险型决策。收益（万元）需求大N1需求中
7、N2需求小N3期望值最大期望值概 率（pi）1/31/31/3大批量（S1）500300250183.33193.33中批量（S2）30020080193.33*小批量（S3）200150100150.00等可能性准则：假设等可能性条件下，期望值最大按照这个准则，最优决策是中批量生产乐观系数准则：乐观系数（01）收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300250275*中批量（S2）30020080234小批量（S3）200150100170对于0.7（1 ）0.3最优决策为大批量生产CV10.7max(500,300,-250)+0.3min(500,300,-
8、250)=350-75=275CV2=0.7max(300,200,80)+0.3min(300,200,80)=210+24=234CV3=0.7max(200,150,100)+0.3(200,150,100)=140+30=170对于0.5（1 ）0.5收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300250125中批量（S2）30020080190*小批量（S3）200150100150最优决策为中批量生产CV10.5max(500,300,-250)+0.5min(500,300,-250)=250-125=125CV2=0.5max(300,200,80)+
9、0.5min(300,200,80)=150+40=190CV3=0.5max(200,150,100)+0.5(200,150,100)=100+50=150对于0.3（1 ）0.7收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）50030025025中批量（S2）30020080146*小批量（S3）200150100130最优决策为中批量生产CV10.3max(500,300,-250)+0.7min(500,300,-250)=150-175=-25CV2=0.3max(300,200,80)+0.7min(300,200,80)=90+56=146CV3=0.3max(
10、200,150,100)+0.7(200,150,100)=60+70=130后悔值准则：以最大后悔值中的最小的为最优决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3大批量（S1）500300250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100Max(Si,Nj)500300100收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3Max(Si,Nj)大批量（S1）00350350中批量（S2）20010020200*小批量（S3）3001500300后悔值矩阵风险型决策最大可能决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3概 率（pi）0.10.20.7大批量（S1）500300250中
11、批量（S2）30020080小批量（S3）200150100*100最大可能为需求小，按最大可能考虑，应采用小批量生产。最大可能决策用于一种状态的可能性明显大于其它状态时，如果几种状态发生的概率相差不大，则不适用。决策者能预先估计决策环境中各种自然状态出现的概率。期望值决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值概 率（pi）0.10.20.7大批量（S1）50030025065中批量（S2）30020080126*小批量（S3）200150100120选择期望值最大的决策为最优决策中批量的决策为最优决策。决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1
12、N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100决策节点概率节点收益-65126120126多层决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1 P(N1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7N1 P(N1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7 N1 P(N
13、1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7 50030030020080200150100129.6126120技术改造S4S5局部改造彻底改造成功 P=0.8失败 P=0.2成功 P=0.6失败 P=0.4500-6001000-900280240280129.6完备信息的价值完备信息的价值如果有一个市场预测专家，他不能改变这种如果有一个市场预测专家，他不能改变这种产品的市场销售状况的概率分布，但他能完全精产品的市场销售状况的概率分布，但他能完全精确地预测这种产品的市场销售状况。这样的信息确地预测这种产品的市场销售状况。这样的信息称为完备信息。这样的信息的期望收益称为完
14、备称为完备信息。这样的信息的期望收益称为完备信息的期望收益。完备信息的期望收益显然要高信息的期望收益。完备信息的期望收益显然要高于不具有完备信息的期望收益。两者之差称为完于不具有完备信息的期望收益。两者之差称为完备信息的价值。备信息的价值。确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7
15、 500300-25030020080200150100-65126120126500300100完备信息的期望值为：0.15000.23000.7100180万元完备信息的价值为：18012654万元S1确定批量确定批量确定批量需求量大（0.1）需求量中（0.2）需求量小（0.7）大批量中批量小批量大批量中批量小批量大批量中批量小批量500300200300200150-25080100100300500180风险决策的效用理论风险决策的效用理论以上的风险决策方法是建立在以方案的期望值大小作以上的风险决策方法是建立在以方案的期望值大小作为决策准则的基础上的。但在实际生活中，经常发生实为决策准
16、则的基础上的。但在实际生活中，经常发生实际的决策行为并不遵从期望值准则的情况。际的决策行为并不遵从期望值准则的情况。例如，对于以下几种情况，要求决策这选择其中对自例如，对于以下几种情况，要求决策这选择其中对自己最有利的一种：己最有利的一种：抛一枚硬币，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元AA抛一枚硬币，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元B B直接获取200元C C这三个方案的收益期望值都是这三个方案的收益期望值都是200200，但决策者对它，但决策者对它们的偏好显然是不同的。我们用们的偏好显然是不同的。我们用“效用（效用（UtilityUtility）”来来表示带有风险
17、的收益对决策者的价值。表示带有风险的收益对决策者的价值。效用函数的确定效用函数的确定由于不同的决策者对风险的态度不同，同样的决策方案，对不由于不同的决策者对风险的态度不同，同样的决策方案，对不同的决策者效用值是不同的。同的决策者效用值是不同的。在各种方案中，收益的最大值的效用为在各种方案中，收益的最大值的效用为11，收益的最小值（损失，收益的最小值（损失的最大值）的效用为的最大值）的效用为00。例如在上例中，例如在上例中，u(1000)=1u(1000)=1，u(-600)u(-600)00。如果决策者认为如果决策者认为CC方案必方案必AA方案好，说明方案好，说明u(200)0.5u(1000
18、)+0.5u(-600)=0.5u(200)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5如果将如果将CC方案中的方案中的200200元降为元降为100100元，仍有元，仍有u(100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5u(100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(0)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5u(0)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(-100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5u(-100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(-50)0.5u(1000)+0.5u(-6
19、00)=0.5u(-50)u(B)u(A)u(C)=u(200)=0.75决策者2：u(A)=0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5 u(B)=0.5u(600)+0.5u(-200)=0.2 u(A)u(B)u(C)u(C)=u(200)=0.15 决策者1：u(1000)=1，u(600)=0.85，u(200)=0.75，u(-200)=0.4，u(-600)=0决策者2：u(1000)=1，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=0应用期望效用准则的决策树方法确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.
20、1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100-651261201265004003002001000-100-200-2501决策者1决策者2收益50030020015010080250效用11.00.80.780.750.720.70.0效用21.00.50.40.350.320.30.0确定批
21、量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100-65 0.26 0.20126 0.72 0.34120 0.73 0.331261.00.800.80.780.70.780.750.721.00.500.50.40.30.40.350
22、.32期望值 决策者1的效用期望 决策者2的效用期望收益效用1效用2如果洪水强度在水坝设计标准以内，不会造成任何损如果洪水强度在水坝设计标准以内，不会造成任何损失，而且只要在设计标准以内，洪水越大，蓄水、发电等失，而且只要在设计标准以内，洪水越大，蓄水、发电等效益越显著。如果洪水强度超过设计标准，不仅将危及大效益越显著。如果洪水强度超过设计标准，不仅将危及大坝安全，还会对下游人民生命财产造成巨大损失，高程越坝安全，还会对下游人民生命财产造成巨大损失，高程越高，损失越大。不同高程的水坝，遇到不同强度的洪水，高，损失越大。不同高程的水坝，遇到不同强度的洪水，效益和损失（千万元）如下表所示：效益和损
23、失（千万元）如下表所示：在一条河流上计划建造一座水电站，水坝的高程有50米，80米和100米三种方案。三种高程的水坝分别可以抵御20年一遇（即发生概率为0.05）、50年一遇（即发生概率为0.02）和100年一遇（发生概率为0.01）的洪水。水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.90587620年一遇0.0520151050年一遇0.026200180100年一遇0.011530500大于100年一遇0.01520100200损益期望值7.679.28511.53以损益期望值为评价指标，100米高层为最优决策益损值-200-100-30-20-15-667效用0.00.
24、50.70.710.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.80.930.951.0-200 -100 0 100 200 300 400 5001.00.80.60.40.20.0益损值-200-100-30-20-15-667效用0.000.500.700.710.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.800.930.951.00 水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.9050.760.750.7420年一遇0.050.800.780.7750年一遇
25、0.020.730.950.93100年一遇0.010.720.701.00大于100年一遇0.0150.710.500.00损益期望值0.7600.7510.737以效用期望值为评价指标，50米高层为最优决策有一个风险投资的机会，成功和有一个风险投资的机会，成功和失败的概率都是失败的概率都是0.50.5。投资。投资11元，如果成元，如果成功可以得到功可以得到1.61.6元的利润，即资本成为元的利润，即资本成为2.62.6元。如果失败，则损失元。如果失败，则损失11元，即资本元，即资本成为成为00。开始的资本为开始的资本为100100万元。投资的次万元。投资的次数和每次投资额不限。为了不至于把
26、钱数和每次投资额不限。为了不至于把钱输光，投资者采取如下的策略：每次总输光，投资者采取如下的策略：每次总是将资本的一半去投资。是将资本的一半去投资。问题：这项投资的结局如何，是问题：这项投资的结局如何，是一本万利，还是一贫如洗？一本万利，还是一贫如洗？问题问题11：风险决策的一个讨论题：风险决策的一个讨论题答案答案11：设初始资本为：设初始资本为aa元，资本增值率元，资本增值率K=1.6K=1.6第一次投资第一次投资a/2a/2元元如果成功，资本为如果成功，资本为aa11=a+K=a+K（a/2a/2）=(1+K/2)a=(1+K/2)a如果失败，资本为如果失败，资本为aa11=0.5a=0.
27、5a第一次投资后的期望资本为：第一次投资后的期望资本为：EE11=0.5(1+K/2)a+0.50.5a=(0.75+0.25K)a=0.5(1+K/2)a+0.50.5a=(0.75+0.25K)a第二次投资第二次投资(0.75+0.25K)a/2(0.75+0.25K)a/2如果成功，资本为如果成功，资本为aa22=(0.75+0.25K)a+K(0.75+0.25K)a/2=(0.75+0.25K)a+K(0.75+0.25K)a/2 =(0.75+0.25K)a(1+K/2)=(0.75+0.25K)a(1+K/2)如果失败，资本为如果失败，资本为 aa22=(0.75+0.25K)a
28、/2=(0.75+0.25K)a/2第二次投资后的期望资本为第二次投资后的期望资本为 E E22=0.5(0.75+0.25K)a(1+K/2)=0.5(0.75+0.25K)a(1+K/2)0.5(0.75+0.25K)a/20.5(0.75+0.25K)a/2 (0.75+0.25K)(0.75+0.25K)a=(0.75+0.25K)(0.75+0.25K)(0.75+0.25K)a=(0.75+0.25K)22 a a依次类推，第依次类推，第nn次投资以后的期望资本为次投资以后的期望资本为EEnn=(0.75+0.25K)=(0.75+0.25K)nn a a用用K=1.6,K=1.6
29、,代入代入 E Enn=(1.15)=(1.15)nn a a即随着投资次数的增加，期望资本会无即随着投资次数的增加，期望资本会无限增大。是一项一本万利的生意。限增大。是一项一本万利的生意。答案答案2 2：设投资设投资2n2n次，其中成功和失败各占次，其中成功和失败各占n n次次第一次投资成功资本成为第一次投资成功资本成为a a11=a+1.6a/2=1.8a=a+1.6a/2=1.8a第二次投资又成功，资本第二次投资又成功，资本a a22=1.8a+1.61.8a/2=1.8=1.8a+1.61.8a/2=1.822a a.第第n n次成功，资本成为次成功，资本成为a ann=(1.8)=(
30、1.8)nna a第第1 1次失败，资本成为次失败，资本成为 a ann11=0.5(1.8)=0.5(1.8)nna a第第n n次失败，资本成为次失败，资本成为 a a2n2n=(0.5)=(0.5)nn(1.8)(1.8)nna=(0.9)a=(0.9)nna a 随着投资次数的增加，资本将减少到随着投资次数的增加，资本将减少到0 0。投资的结果将血。投资的结果将血本无归。本无归。讨论题：当投资次数无限增大时，投资者的资本究竟是讨论题：当投资次数无限增大时，投资者的资本究竟是“一本万利一本万利”还是还是“血本无归血本无归”？错的答案错在哪里？错的答案错在哪里？例一 风险投资的计算机模拟实
31、验1、建立一张Excel表，模拟投资次数设定为100次。当前资本为100万元。第二次投资前的资本（B5）等于第一次投资后的资本（E4），依次定义每次投资前的资本为上一次投资后的资本。2、对每一次模拟投资，设置一个在0，1区间均匀分布的随机变量。按功能键F9，所有随机变量会重新产生一次。3、定义投资成功与否。如果相应的随机变量小于0.5，投资失败（D4=0），否则投资成功（D4=1）。由于随机变量在区间0,1中是均匀分布的，因此投资成功河失败的次数各占一半。4、计算投资后的资本。按F9键，刷新随机数，进行新的100次模拟投资实验。5、用图形表示100次模拟投资实验中资本变化。按F9键，刷新随机数
32、，可以得到新的资本变化图形。例二 回收带有随机性的风险投资模拟实验一项长期风险投资，初期投资100万元，分四年回收。利率r=5。每年投资回报是随机的，服从正态分布期望值和方差如下表：年份1234期望值（万元）40302520标准差（万元）2345求这个项目的平均净现值和内部回收率1234IR1R2R3R4投资净现值内部回收率 IRR：使NPV=0的利率NPVrIRR随着利率r的增加，NPV随之下降，NPV降到0时的利率就是内部回收率IRR演示第一次作业有一项长期投资，分三年投入，投资额是确定的，回收额是随机的，服从正态分布。投资贴现率为5。每年需要投入的资金以及预计前五年的投资回报额的期望值和
33、标准差如下表所示：年 份012345投资当年值（万元）305020回收期望值（万元）1520303510回收标准差（万元）22.53.03.54.0用随机模拟的方法求这个项目的平均净现值和内部回收率存储问题 存储是一种常见的现象。无论社会经济系统、环境生态系统、生物生命系统，普遍存在存储现象。q流水生产线工位上的在制品堆栈在制品存储q火力发电厂的燃煤堆场原料存储q海洋、湖泊在调节大气环流中的作用能量存储q人体内部的脂肪能量存储存储的作用q系统和环境中间形成缓冲，防止和减少环境变化对系统运行的影响q系统内部各部分之间形成缓冲，起到各部分之间的解耦，提高系统的可靠性和稳定性q提高存储量和存储成本，
34、降低系统中各部件的可靠性成本和系统的运行成本存储模型设有一个仓库，存放某种物品。每件物品在仓库中存放一天的费用为c（元/件天），这种物品每天的需求量为dt，需求量dt可以是一个常数，也可以是随机变量。根据需求，每天从该仓库提取相应数量的物品。期初仓库中物品的数量为Q，随着每天提货，库存量不断减少。为了不断满足需求，需要经常补充物品。每次补充物品的数量为R，补充数量R可以是一个常数，也可以是一个变数。每补充一次物品的费用为cs是一个常数，与补充物品的数量无关。每两次补充之间的时间间隔为T，补充时间间隔可以是常数，也可以是变数。假定一次补充需要的时间很短，可以忽略不计。当库存量减少到0，如果还不补
35、充，需求就不能满足，这样就形成缺货。缺货可以用负的库存表示。下一次补充时，已形成的缺货可以补给，也可以不给。缺货会造成缺货损失，一件缺货每天的损失为s，一般情况下，缺货损失要比正常库存费用大。该存储系统的总费用由库存费用、补充费用和缺货损失三部分组成。存储模型的分类按需求类型分q确定性需求q随机性需求按补充周期分q定期补充：补充周期为tq不定期补充：设立最低库存L(Low)，实际库存等于或低于最低库存，立即补充按补充数量分q定值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充到一个库存的最高值H(High)q等值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充一个设定值R(Refreshment)t定期等值补
36、充（不允许缺货）TTTRRt定期等值补充（允许缺货）TTTRRt定期定值补充（允许缺货）TTTHHtTTT定期定值补充（不允许缺货）Ht不定期定值补充（不允许缺货）Lt不定期定值补充（允许缺货）HL不定期等值补充（不允许缺货）tRLRt不定期等值补充（允许缺货）RLR确定性库存模型确定性库存模型的基本假设：q每天的需求量是一个常数d，每件物品每天的存储费用为cq不允许缺货，存储量降到0，立即补充。补充瞬时完成。q每次补充数量相等为Q。每次补充费用为Cs，两次补充的时间间隔相等设为T。QTQTQ=Td0，T内平均存储量0，T内存储费用=0，T内总费用：0，T内平均费用：补充周期T变化，使平均费用
37、最小，即最优补充周期：最优补充批量（经济批量）：存储问题经济批量的模拟模型（见“库存补充策略”）第二次作业：用Excel建立库存随机模拟模型1、建立确定性存储模型，其中补充批量Q=200，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量d=10件/天，不允许缺货，存储量为0时立即将存储量补充到Q。用模拟方法求使总费用最小的经济批量。2、建立随机性存储模型，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量为0时立即补充到Q200件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。3、建立随机性存储模型，库
38、存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量小于或等于10件时立即补充Q100件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。多目标决策多目标决策的基本概念多目标决策的基本概念设决策方案设决策方案XX的集合为的集合为，每一个决策，每一个决策XX 都有都有KK个目个目标值全为极小化目标，记为标值全为极小化目标，记为minfminf11(X)(X)，ff22(X)(X)，ffkk(X)(X)如果有两个决策如果有两个决策XX11、XX22，第一个决策的，第一个决策的KK个目标都小于个目标都小于第二个决策相应的
39、第二个决策相应的KK个目标，即个目标，即ff11(X(X11)f)f11(X(X22)，ff22(X(X11)f)f22(X(X22)，ffkk(X(X11)f)fi(X*)则称X*为一个Pareto解（也称为非劣解、有效解）如果有一个以上的Pareto解，这些Pareto解组成的集合称为Pareto集。f1(X)f2(X)f(x)xPareto 集x1x2x4x5x3图中x1、x5为劣解，x2、x3、x4为Pareto解劣解劣解Pareto解集的图解max z1=3x1+2x2max z2=-x1+2x2s.t.x1+x2 6 2x1+x2 10 x1+2x2 10 x1，x20目标函数线性
40、加权：z=1z1+2z2 01,21 1+21由图解可以看出，最优解必定是一个Pareto解。6543210123456z2z11z1+2z2多目标线性规划f1(x)f2(x)非劣解集Pareto 集多目标线性规划的Pareto解集劣解多目标决策的方法一、多目标转化为单目标1、评价函数法F(X)=Uf1(X)，f2(X)，fK(X)将多目标转化为单目标v线性加权法F(X)=1f1(X)+2f2(X)+KfK(X)其中01，2，K1，称为目标权重。例1：住房选择（决策空间是离散的）面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000
41、东乙三层确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进行确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进行归一化处理最理想的值为归一化处理最理想的值为11，最不理想的值为，最不理想的值为00，将各决，将各决策方案的实际目标值转化为策方案的实际目标值转化为0011之间的值。之间的值。面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层最好200(1.0)3000(1.0)南(1.0)甲(1.0)三层(1.0)最差75(0.0)6000(0.0)北(0.0)丁(0.0)一层(0.0)实际指标A2004800南丙四层B1805500西甲七层C1504000东乙三层归一化A1.00.4001.00.40.9B0.840.1
42、670.41.00.6C0.600.6670.70.71.0确定各目标的权重确定各目标的权重面积（m2）单价（元/m2）朝向 地段 楼层 评价值目标权重0.250.30.150.20.1住房A1.00.4001.00.40.90.690住房B0.840.1670.41.00.60.580住房C0.600.6670.70.71.00.695*住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层根据评价值，选择住房根据评价值，选择住房CC是最优决策。线性加权法的缺点是各目标是最优决策。线性加权法的缺点是各目标的权重完全由主观确定，而权重的选取对决策结果起着十分关键的
43、作的权重完全由主观确定，而权重的选取对决策结果起着十分关键的作用。用。设目标重要性由大到小依次为：单价设目标重要性由大到小依次为：单价面积面积朝向朝向地段地段楼层楼层确定目标权重确定目标权重11+22+33+44+55=1=1，1 1 11 22 33 44 5500计算计算各方案的评价指标各方案的评价指标F(X)=F(X)=44ffii(X)(X)，评价指标最高的为最优决策，评价指标最高的为最优决策线性加权法的优点q方便直观，简单易行q可以利用丰富的单目标决策方法和软件缺点q权重的确定完全靠决策者主观判断q对不同量纲的目标，合成以后的目标实际意义不明层次分析法层次分析法 AHP AHP，An
44、alysis of Hierarchy ProcessAnalysis of Hierarchy Process层次分析法是由层次分析法是由T.L.SaatyT.L.Saaty提出的一种确定多目标决提出的一种确定多目标决策中各目标的权重的方法，不仅在多目标决策中有重要作策中各目标的权重的方法，不仅在多目标决策中有重要作用，在管理以外的其它学科也有许多应用。用，在管理以外的其它学科也有许多应用。在多目标决策中，各目标的权重对分析结果具有重要在多目标决策中，各目标的权重对分析结果具有重要影响，但权重的确定比较困难。层次分析法的基础是目标影响，但权重的确定比较困难。层次分析法的基础是目标的分层和对同
45、一层次的各目标的重要性进行两两比较，使的分层和对同一层次的各目标的重要性进行两两比较，使确定各目标的权重的任务具有可操作性。确定各目标的权重的任务具有可操作性。vv矩阵的特征向量和特征根矩阵的特征向量和特征根vv层次分析法的原理层次分析法的原理vv单层次模型单层次模型vv多层次模型多层次模型矩阵的特征向量和特征根矩阵的特征向量和特征根设设AA是是nnnn非奇异的矩阵，如果存在一个实数非奇异的矩阵，如果存在一个实数00和一个和一个n1n1的非零向的非零向量量VV，满足，满足AV=AV=VV则称则称VV为矩阵为矩阵AA的特征向量，的特征向量，为矩阵为矩阵AA的一个特征根。的一个特征根。例如例如有两
46、个特征向量和相应的特征根有两个特征向量和相应的特征根矩阵特征根的计算矩阵特征根的计算由线性代数可知，方程组由线性代数可知，方程组 AV=AV=V V 即即 (A-(A-I)V=0 I)V=0有非零解的条有非零解的条件是系数行列式件是系数行列式|A-|A-I|=0 I|=0。其中。其中 I I 为单位矩阵。为单位矩阵。例如例如展开行列式展开行列式(-4-(-4-)(3-)(3-)+10=0)+10=0，22 2200求解二次方程，得到矩阵的特征根求解二次方程，得到矩阵的特征根 1111，2222对于高阶矩阵，用行列式计算特征根需要求解高次方程，计算比对于高阶矩阵，用行列式计算特征根需要求解高次方
47、程，计算比较复杂，可以采用叠代法。较复杂，可以采用叠代法。判断矩阵特征向量和特征根的叠代算法 任取一个初始n1向量计算已经收敛。因此判断矩阵的特征向量并且max=1特征向量为问题2：是否可以编制一个用叠代法计算矩阵特征向量和特征根的小程序？求判断矩阵特征向量和特征根（近似值）的“和法”将每一列相加，得到：特征向量为归一化问题3：求矩阵特征根还有一个近似的方法称为“幂法”，自己查阅文献学会这种方法。层次分析法原理层次分析法原理设设nn个物体，重量分别为个物体，重量分别为ww11，ww22，wwnn，总总量，总总量将将ww11，ww22，wwnn 归一化，即令归一化，即令归一化以后的重量满足归一化
48、以后的重量满足如果已知这如果已知这nn个物体总量两两比较的值，能否求出它们（归一化）的重量个物体总量两两比较的值，能否求出它们（归一化）的重量？设设nn个物体重量的两两比较判断矩阵如下个物体重量的两两比较判断矩阵如下例如，四个物体的重量为例如，四个物体的重量为 w w11=2=2，ww22=1=1，ww33=3=3，ww44=4=4（公斤）（公斤）它们的总重量它们的总重量W=10W=10公斤，归一化的重量为公斤，归一化的重量为四个物体两两比较的判断矩阵为四个物体两两比较的判断矩阵为这个矩阵具有以下特点：这个矩阵具有以下特点：1 1、对角线上的元素、对角线上的元素aaiiii=1 =1 （i=1
49、,2,ni=1,2,n）2 2、以对角线对称的元素互为倒数、以对角线对称的元素互为倒数 a aijij=1/a=1/ajiji （i,j=1,2,ni,j=1,2,n）3 3、各物体之间的相对重量比值是一致的、各物体之间的相对重量比值是一致的 a aijij=a=aikik/a/ajk jk （i,j=1,2,ni,j=1,2,n）4 4、nn个物体归一化的重量组成的向量是判断矩阵的一个特征向量，个物体归一化的重量组成的向量是判断矩阵的一个特征向量，对应的最大特征根对应的最大特征根maxmax=n=n。因此，只要给出判断矩阵，就可以求出因此，只要给出判断矩阵，就可以求出nn个物体的归一化重量。
50、个物体的归一化重量。同样，在多目标决策中，如果能给出各目标重要性两两比较的判断矩同样，在多目标决策中，如果能给出各目标重要性两两比较的判断矩阵，就可以求出这些目标（归一化）的相对重要性。阵，就可以求出这些目标（归一化）的相对重要性。设目标C由n个元素A1，A2，An组成，对这n个元素相对于目标C的重要性作两两比较，构成以下判断矩阵：其中aij=1,2,3,4,5,6,7,8,9以及1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9。这些数字的含义为：CA1A2AnA1a11a12a1nA2a21a22a2nAnan1an2annaij含义1元素 i 和元素 j 同等重要3元素 i