高等数学竞赛讲座.ppt

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1、数学竞赛讲座数学竞赛讲座体操能使你身体健康体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷数学能使你思想正确而敏捷,有了它有了它,你们才能爬上科学的大山你们才能爬上科学的大山._华罗庚华罗庚_解题是一种本领解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的无论是从别人那里学来或听来的,只要经只要经过你自己的体验过你自己的体验,它对你来讲可以成

2、为一种楷模它对你来讲可以成为一种楷模,当你当你在碰见别的类似的问题时在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。_乔冶乔冶.波利亚波利亚_不定积分第第 一一 讲讲注注:不定积分是计箅定积分、重积分、线不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具面积分的一种工具,为解微分方程服务为解微分方程服务.1 1、原函数与不定积分、原函数与不定积分连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数(1)定义:一一.基本概念基本概念例例2 2 函数函数为的原函数，当时，有，且，试求.解：因解：因，所以而由得，从而故(2)微分运算与求不定积分的运算

3、是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质2 2、基本积分表、基本积分表 p210p210是常数是常数)第一类换元法第一类换元法二二.积分法积分法（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）(1)由定义直接利用基本积分表与积分的由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法性质求不定积分的方法.(2)(2)换元法换元法:第二类换元法第二类换元法常见类型常见类型:常用代换常用代换:(3)(3)分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式选择选择u u的有效方法的有效方法:L,I,E:L,I,E选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数

4、；E-指数函数；指数函数；(4)(4)、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分令令（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号(造一个分子是分母的造一个分子是分母的导数导数.)例例9 9(97考研题考研题)例例1010解解几种常见技巧几种常见技巧:1.循环现象循环现象:2.折项抵消法折项抵消法:注注:遇到不可积的积分只能采用折项抵消法遇到不可积的积分只能采用折项抵消法3.二

5、项代换法二项代换法:4.递推法递推法:5.关于绝对值的积分关于绝对值的积分例例17 设设为上的连续偶函数，证明的原函数中恰有一个是奇函数.证证：令：令 则 为奇函数，设也是的一个原函数，且为奇函数，则 且，(00年竞赛题年竞赛题)例例 18（2000年省年省竞赛题竞赛题）解：原式解：原式 例例17(17(机动机动)解解定积分第第 二二 讲讲一一.基本概念基本概念:1.定义定义:2.性质性质:(3)（5）.(估值定理估值定理)（6 6）.（定积分中值定理）（定积分中值定理）定理定理2 2定理定理3 33.定积分存在定理定积分存在定理定理定理1 1曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形

6、的面积的负值的负值4、定积分的几何意义二二.定积分的计算定积分的计算:4.几个重要的结论几个重要的结论:(2)若f(x)是以T为周期的连续函数,则 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数例 3.（9696年省竞赛题）年省竞赛题）例例 4（2005年考研年考研题题）的方程为，点（3，2）是它的一个拐点，与分别是曲线 在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为具有三阶连续导数，计算定积分.（2，4）.设函数如图，曲线直线 yl1l2y=f(x)C12341234xO解：解：例 5 (00省竞赛题)设连续函数满足，求.解：解：设设，则 （3分）由上两式解出例例 6（96年省年省竞赛题竞赛题

7、），求解法解法1：（2分）解法解法2：例例 7（2000年省年省竞赛题竞赛题）设，且，求 解：解：例 8 设求.解：解：（2000年省年省竞赛题竞赛题）例例 9（1994年考研题）年考研题）(1)设，则有故选【D】.三三.定积分的几类典型问题定积分的几类典型问题:1.处理变上限定积分处理变上限定积分:例例 11 设设其中在上连续，且证明:在内是单调增加的.证证明：明：单调增加.（02年省年省竞竞赛题赛题）具有具有连续导连续导数数,且且满满足方程足方程,求求例12 设(99年考研题年考研题).例13 .设是是连续连续函数函数,证证明明:只与只与s有关有关,其中其中t0,s0.(87年考研题年考研

8、题).设8.例例 14（2005年考研年考研题题）在0,1上的导数连续，且证明：对任何，有设.证证法一：法一：设则在0,1上的导数连续，并且 由于时；因此，即在0,1上单调递减.注意到 而 故因此时，由此可得对任何有 .证证法二法二:由于时，因此在0,1上单调递增，又由于时，因此 从而例15 设在在内内连续连续,对对任意任意满满足足,求求.例例 16（91年省年省专专科科竞赛题竞赛题）设上的单调减少的连续函数，试证明：证证：记记，则 （2分）（2分）应用积分中定理，知存在，使得.由于在上单调减少，故，从而 （2分）在上单调增加，又，.得证.例例 17 设设在上连续，且，证明在上至少有两个零点.

9、证证明：明：令在上连续，由罗尔定理，使即（00年省年省竞赛题竞赛题）(技巧技巧)假设在上只有一个零点，因，可知在与上异号，因而当，且时（或0）.故从而导出矛盾，故在上至少有两个根（零点）.例例 18（1999年考研年考研题题）连续，且已知求的值.，则，于是设函数解：解：令上式两边x求导，得例例 19 证证 证证:2.关于积分等式的证明关于积分等式的证明:方法方法:(1)变量代换变量代换,(2)分部积分分部积分,(3)微分法微分法 (4)中值定理。中值定理。例 20 设,在在内内连续连续,为为偶函数偶函数,且且满满足足(1).证证(A常数常数).(2)计算计算例例 21（98年省年省竞赛题竞赛题

10、）在上连续，且试证：存在，使.证证明：令明：令由于，由罗尔定理得，存在使得即:.设设(技巧技巧)例例 22 (96年省竞赛本科三级年省竞赛本科三级)3.关于积分不等式的证明关于积分不等式的证明:法法1:利用定积分性质利用定积分性质.例例 2323在在上上连续连续,且且证证平平方方得得结结论论.例24 设,证证明明(1)(2)(01年考研题年考研题)例例 25（94年省年省竞赛题竞赛题）证证明：明：因而因而 因而即.例 26 设在在上上单调单调增加且增加且连续连续可微可微,证证明明:(98年省竞赛题年省竞赛题).，证证法法 1:，故在上单调增加，例例 27（96年本科三年本科三级竞赛题级竞赛题）

11、在区间上可积，当时,又，求证.证证：以：以代入得 （3分）设设例 28 设在在上上连续连续,证证:(2)利用积分中值定理利用积分中值定理:例 29 设在在上上连续连续,在在内可内可导导,且且证证明明:存在存在使使在在上上连续连续,在在内可内可导导,且且证证例 30 设(技巧技巧)例例 31 证证柯西柯西积积分不等式分不等式:(机功机功)四四.广义积分广义积分:注注:技巧技巧:化定积分化定积分作作例例 35（1991年考研题）年考研题）求.解：解：令，则故 原式例 36 求 （为实数）.解法解法 1：（2000年省年省竞赛题竞赛题）解法二解法二：原式 (02省竞赛题省竞赛题)第第 三三 讲讲定积

12、分应用定积分应用一、定积分应用的常用公式一、定积分应用的常用公式1 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积(3)参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数(4)极坐标情形极坐标情形 二二.体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积三三.平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(1)细棒的质量细棒的质量五.物理应用四四.旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(2)变力所作的功变力所作的功(3)水压力水压力(5

13、)引力引力(10)函数的平均值函数的平均值已知点与的直角坐标分别为 与.线段 绕 轴旋转一周所成的旋转曲面为.求由 及两平面 所围成的立体体积.解：直线的方程为，即 在 轴上截距为 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 轴交于点，与 交于点 zyxBOM1QA，故圆截面半径例例 1（1994年考研题）年考研题）从而截面面积，旋转体体积例例 2 2、（、（20042004年考研题）年考研题）曲线与直线边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在处的底面积为F(t).围成一曲边梯形.该曲（I）求的值;（II）计算极限解：解：（I）（II）例例3 3（2003200

14、3年考研题）年考研题）轴围由该切线过原点知，从而所以该切线的方程为过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及.成平面图形（1）求面积；绕直线旋转一周所得旋转体的体积.（2）求解：（解：（1）设切点的横坐标为，则直线在点（）处的切线方程是（2）切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为曲线与轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为因此所求旋转体的体积为.(2)方法方法2:例例6（96年本科三年本科三级竞赛题级竞赛题）经过点,且位于轴上方.就数值而言，上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求的方程.解：在解：在上任取定点，则，对求导得即 分离变量得.

15、积分得 （4分）以初始条件代入得，所求的方程为 设曲线设曲线例例 7 设一容器由平面曲线绕轴旋转而成，今以10cm3/s的速度向容器内倒水，求水面上升到60cm时水面上升的速度.解：解：设经过时间秒，水面上到高度cm，则此时贮水的体积为 时故当时，水平面上升速度为cm/s.（02年省年省竞赛题竞赛题）例例 8（94年省竞赛题）年省竞赛题），求曲线与直线所围面积的最大值与最小值.解：解：（4分）将代入，（5分）解出，因而 因而所围面积的最大值为，最小值为.（10分 例例9(04竞赛题）竞赛题）设设D：在D的边界上任取点P，设P到原点的距离为t，作PQ垂直于交D的边界1）试将P，Q的距离2）求D绕

16、旋转一周的旋转体体积。解:(1)，则的方程为由解得（令 例例11(04省竞赛省竞赛)设设在a,b上连续，在内二阶可导，求证：1）在内至少有一点 2）在内至少有一点应用积分中值定理，使得，证证1:令，则在上连续，在据罗尔定理，使得(2)令，则，且 由罗尔定理，显见 使得而 例例 9（1998年考研年考研题题）是区间上的任非负连续函数.，使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积.设（1）试证存在（2）又设在区间内可导，且证明（1）中的是唯一的.，证证法一：（法一：（1）设，且.对在区间上应用罗尔定理知，存在一点使，因而即矩形面积等于曲边梯形面积则（2）设则当时，有所以在区间内单减少，故此时（1）中的是唯一的.，例例 10（1988年考研题）年考研题）设函数在区间上连续，且在内有.证明：在内存在唯一的，使曲线与两直线所围平面图形面积S1是曲线与两直线所围平面图形面积S2的3倍.yxOf(t)atby=f(x)S1S2证：存在性 在上任取一点，令则 在上连续，又因，故在上是单调增加的，在内取定点c，则有 .所以由介值定理知，在内存在，使，即 S13S2.唯一性 因故在内是单调增加的，因此，在内只有一个，使S13S2.