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1、 高等数学 竞赛辅导 多元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重点、难点重点、难点与与解解 题题 技技 巧巧原则原则,选择一个适当的次序进行选择一个适当的次序进行.极坐标下一般先对极坐标下一般先对即在计算时可根据即在计算时可根据“既能计算出来既能计算出来,又尽量简单又尽量简单”的的 当当 既是既是 型区域又是型区域又是 型区域时型区域时,有有 积分积分.以上等式也表明以上等式也表明,此时可以交换二次积分的积此时可以交换二次积分的积分次序分次序.当按一种次序积分当按一种次序积分有困难时有困难时,可将其交换次可将其交换次序后序后,再进行计算再进行计算.相应二重积分的积分域，即使题目简单也应画出相
2、应二重积分的积分域，即使题目简单也应画出.关键是根据二次积分的两对上关键是根据二次积分的两对上、下限，画出下限，画出定积分后再做一次定积分，而定积分的上限不一定积分后再做一次定积分，而定积分的上限不一 值得注意的是，一般的二次积分就是做一次值得注意的是，一般的二次积分就是做一次定大于等于下限；然而，由二重积分化成的二次定大于等于下限；然而，由二重积分化成的二次积分其上限必须大于等于下限！积分其上限必须大于等于下限！故当给定的二次积分之上限小于下限时，应故当给定的二次积分之上限小于下限时，应将上、下限颠倒过来，同时改变二次积分的符号将上、下限颠倒过来，同时改变二次积分的符号.当积分域当积分域 对
3、称于坐标轴或原点对称于坐标轴或原点,且被积函数且被积函数 具有相应对称性时具有相应对称性时,二重积分的计算可以简化二重积分的计算可以简化.当当 对称于对称于 (即即 轴轴)时时,1 10若若 (是是 的的奇奇函数函数),则则2 20若若 (是是 的的偶偶函数函数),则则当当 对称于对称于 (即即 轴轴)时时,1 10若若 (是是 的的奇奇函数函数),则则2 20若若 (是是 的的偶偶函数函数),则则当当 对称于对称于原点原点时时,1 10若若 则则2 20若若 则则当当 对称于对称于 时时,若三个若三个积积分分变变量量 (或其中两个或其中两个)在在 的方的方程中具有轮换对称性程中具有轮换对称性
4、,或曰地位一样，则有或曰地位一样，则有 (1)(1)当当Riemann积积分分 中中或或上的函数上的函数时时,就是就是对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分,也称也称为为第第一一是是的弧的弧长长元素元素(弧微分弧微分).是定是定义义在在(平面曲平面曲线线段段)或或(空空间间曲曲线线段段),其中其中或或类曲线积分类曲线积分,记为记为 当当Riemann积积分分 中中 ,面面面面积积元素元素.是定是定义义在在上的函数时上的函数时,就是对面积的曲面积分就是对面积的曲面积分,也称为也称为是是,其中其中第一类曲面积分第一类曲面积分,记为记为的曲的曲xzy2.o.从从 轴轴正向看去正向看去为为逆逆时针时针向向.不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；与与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如积分的对称性的结论刚好相反，例如