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1、2023/4/131常用函数的幂级数展开式2023/4/132第五第五节 函数的函数的幂级数展开式的数展开式的应用用 第十二章第十二章 一、近似一、近似计算算三、欧拉公式三、欧拉公式二、微分方程的二、微分方程的幂级数解法数解法2023/4/133一、近似计算例1 计算的近似的近似值,使精确到使精确到解解:已知已知故故令令得得于是有于是有2023/4/134在上述展开式中取前四在上述展开式中取前四项,2023/4/135(取取 的近似的近似值,精确到精确到解解:例例2 计算定算定积分分2023/4/136则 n 应满足足则所求所求积分近似分近似值为欲使截断欲使截断误差差2023/4/137二、微
2、分方程的幂级数解法 当当微微分分方方程程的的解解不不能能用用初初等等函函数数或或其其积分分表表达达时 我我们就就要要寻求求其其它它解解法法 本本节我我们简单地介地介绍微分方程的微分方程的幂级数解法数解法 其中函数其中函数f(x y)是是(x x0)、(y y0)的多的多项式式 f(x y)a00 a10(x x0)a01(y y0)aim(x x0)l(y y0)m 这时可可设所求特解可展开所求特解可展开为x x0的的幂级数数 y y0 a1(x x0)a2(x x0)2 an(x x0)n 其其中中a1 a2 an 是是待待定定的的系系数数 把把所所设特特解解代代入入微微分分方方程程中中 便
3、便得得一一恒恒等等式式 比比较这恒恒等等式式两两端端x x0的的同同次次幂的的系系数数 就就可可定定出出常常数数a1 a2 从从而而得到所求的特解得到所求的特解 幂级数解法基本思想数解法基本思想 解解 于是所求解的于是所求解的幂级数展开式的开始几数展开式的开始几项为 例例1 求方程求方程y x y2满足足y|x 0 0的特解的特解 这时x0 0 y0 0 故故设 y a1x a2x2 a3x3 a4x4 把把y及及y 的的幂级数展开式代入原方程数展开式代入原方程 得得 a1 2a2x 3a3x2 4a4x3 5a5x4 x(a1x a2x2 a3x3 a4x4 )2 x a12x2 2a1a2
4、x3(a22 2a1a3)x4 由此由此 比比较恒等式两端恒等式两端x的同次的同次幂的系数的系数 得得 定理定理 如果方程如果方程 yP(x)y Q(x)y 0中中的的系系数数P(x)与与Q(x)可可在在 RxR内内展展开开为x的的幂级数数 那么在那么在 RxR内此方程必有形如内此方程必有形如的解的解 提示提示 例例2 求方程求方程yxy 0的的满足足y|x 0 0 y|x 0 1的的特解特解 解解 这里里P(x)0 Q(x)x在在整整个个数数轴上上满足足定定理理的条件的条件 因此所求的解可在整个数因此所求的解可在整个数轴上展开成上展开成x的的幂级数数y a1 2a2x 3a3x2 4a4x3
5、 nanxn 1 y a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 y2a2x 3 2a3x 4 3a4x2 n(n 1)anxn 2 把把y及及y 代入方程代入方程yxy 0 得得 2a2 3 2a3x(4 3a4 1)x2(5 4a5 a 2)x3 (6 5a6 a3)x4 (n 2)(n 1)an 2 an 1xn+.=0.由由y|x 0 1 得得 由条件由条件y|x 0 0 得得a0 0 a1 1 于是于是a2 0 a3 0 a5 0 a6 0 a8 0 a9 0 2023/4/1312二、欧拉公式(Euler formula)则称称 收收敛,且其和且其和为绝对收收敛收收敛.若若收收敛,若若对复数复数项级数数绝对收收敛则称称 绝对收收敛.由于由于,故知故知 2023/4/1313的指数函数的指数函数为易易证它在整个复平面上它在整个复平面上绝对收收敛.当当 y=0 时,它与它与实指数函数指数函数当当 x=0 时,的的幂级数展式一致数展式一致.定定义 复复变量量2023/4/1314（欧拉公式）（欧拉公式）（也称欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式利用欧拉公式可得复数的指数形式则2023/4/1315据此可得据此可得(德莫弗公式德莫弗公式)利用利用幂级数的乘法数的乘法,不不难验证特特别有有