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1、第三讲第三讲 线面、面面垂直线面、面面垂直的判定与性质的判定与性质1.直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定:定义定义(反证法反证法);判定定理判定定理:b,ab a;（线面垂直性质定理）（线面垂直性质定理）,a a（面面平行性质定理）（面面平行性质定理）;，=l，al，a a （面面垂直性质定理）（面面垂直性质定理）线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直基础知识基础知识3.直线与平面垂直的性质直线
2、与平面垂直的性质:直线和平面垂直，那么直线就垂直于这个平直线和平面垂直，那么直线就垂直于这个平面内的任何直线面内的任何直线 线面垂直线面垂直 线线垂直线线垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行那么这两条直线平行 a，b ab 4.点到平面的距离点到平面的距离:从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.注意注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定
3、，往往虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足即为面的垂足.5.斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影,直线和平面所成角直线和平面所成角平面的斜线平面的斜线;斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影;斜线段斜线段,垂线段定理垂线段定理:从平面外一点所引的垂线从平面外一点所引的垂线段和斜线段中段和斜线段中射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；段也较长；相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；的射影也较
4、长；垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短直线和平面所成角直线和平面所成角:平面的一条斜线和它在平面平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所叫做这条直线和这个平面所成的角成的角注意注意:范围范围:如果这条直线平行于这个平面如果这条直线平行于这个平面,那么直那么直线与平面所成的角是线与平面所成的角是 最小性定理最小性定理:斜线与平面所成的角，是这条直斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成一切角中最小线和平面内经过斜足的直线所成一切角中最小角角.6.三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜在平面
5、内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆定理三垂线逆定理:如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直这条斜线的射影垂直 7.二面角二面角 1)定义：定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角.2)二面角的平面角：二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3)二面角的大小：二面角的大小：可以用它的平面角来度量,范围是：4)直二面角：直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.5)求
6、二面角的大小方法：求二面角的大小方法：定义法定义法 (2)三垂线定理法三垂线定理法(3)垂面法等垂面法等8平面垂直的定义及判定定理：平面垂直的定义及判定定理：定义定义：两个平面相交，如果它们所成的角是：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：平面记作：平面平面平面 两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定,证明方法证明方法:定义定义判定定理：如果一个平面经过另一个平面判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直，面面垂直）（线面垂直，面面垂直）两个平面垂直的性质两
7、个平面垂直的性质性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（线线垂直（线线垂直 线面垂直）线面垂直）【例【例1】设设a，b是两条异面直线，在下列命是两条异面直线，在下列命题中正确的是（题中正确的是（）A.有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与a，b都垂直；都垂直；B.有一有一个平面与个平面与a，b都垂直；都垂直；C.过直线过直线a有且仅有一个平面与有且仅有一个平面与b平行；平行；D.过空过空间中任一点必可作一条直线与间中任一点必可作一条直线与a，b都相交都相交.已知已知m,l是
8、直线是直线,是平面，给出下列命题是平面，给出下列命题:A.若若l垂直于垂直于内的两条相交直线，则内的两条相交直线，则l；B.若若l平行于平行于，则，则l平行于平行于内的所有直线；内的所有直线；C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形四面体中最多可以有四个面是直角三角形;D.若若m且且l，且且则则ml其中正确命题的是其中正确命题的是 。CA C D例题例题,是两个不同的平面，是两个不同的平面，m m，n n是平面是平面及及之外之外两条不同的直线，给出四个论断：两条不同的直线，给出四个论断：（A A）mn mn（B B）m m（C C）（D D）nn；以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
9、以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题写出你认为正确的一个命题_【例【例2 2】如图，如图，P 是是ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA平面平面ABC，若，若O和和Q分别是分别是ABC和和PBC的的垂心，试证：垂心，试证：OQ平面平面PBC。【例【例3 3】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，SASA平面平面ABCDABCD，过，过A A且垂直且垂直SCSC的平面分别交的平面分别交SBSB、SCSC、SDSD于于E E、F F、G G，求证：，求证：AESBAESB，AGSD.AGSD.【例【例4 4】如图，在棱长为如图，在棱长
10、为a a 的正方体的正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别为分别为D D1 1C C1 1与与ABAB的中点。的中点。求求A A1 1B B1 1与截面与截面A A1 1ECFECF所成的角；所成的角；求点求点B B到截面到截面A A1 1ECFECF的距离的距离.【例例5】如如图图平平面面，四四边边形形是是矩矩 形，、分别是、形，、分别是、的中点的中点.)求平面与平面所成二面角的大小；求平面与平面所成二面角的大小；)求证：平面求证：平面平面平面 PA【例【例6】已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线，若过面对角线AB1
11、与另一面对角线与另一面对角线BC1平行的平面交上底面平行的平面交上底面A1B1C1的的一边一边A1C1于点于点D.（1）确定）确定D的位置，并证明你的结论；的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面）证明：平面AB1D平面平面AA1D；（3）若）若AB AA1=，求平面，求平面AB1D与平面与平面AB1A1所成所成角的大小角的大小.【例【例7】如图所示，已知如图所示，已知ABC和和ADC都是都是以以D为直角顶点的直角三角形，且为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，BAC=60（1）求证：）求证：BD平面平面ADC；（2）若）若H是是ABC的垂心，求证：的垂心，求证：H是是D在平在平面面AB
12、C内的射影。内的射影。【知知识识方法方法总结总结】1.线面垂直关系的判定和证明线面垂直关系的判定和证明,要注意线线垂直关系要注意线线垂直关系,面面垂直关系与它之间的相互转化面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足垂足”，如果，如果“垂足垂足”，定了，那么，定了，那么“垂足垂足”和和“斜足斜足”的连线就是斜线在平面上的射影的连线就是斜线在平面上的射影.4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用条件和转化应用.3.证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面作平面 的的垂线，通常是先作垂线，通常是先作(找找)一个过点一个过点P并且和并且和 垂直的平面垂直的平面，设，设 =l，在，在 内作直线内作直线a l，则，则a 【作作业业】