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1、 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 专题6 线面垂直与面面垂直的判定及性质一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2性质定理与判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行二、平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【例1】给出下列
2、四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是（ ）A1 B2C3D4【解析】命题，为真，命题，为假故选B【例2】直线l不垂直于平面，则内与l垂直的直线有（ ）A0条 B1条C无数条D内所有直线【解析】可以有无数条故选C【例3】设、为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则；若，且l，则l；若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面垂直；若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面上面命题中
3、，真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）【解析】中l也满足，中与可能相交答案：【例4】如图，在三棱锥中，若，是的中点，则下列命题中正确的有 （填序号）平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE【解析】因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE故只有正确几个常用的结论：（1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）垂直
4、于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一直线的两个平面互相平行【例5】（2011浙江）下列命题中错误的是（ ）A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】对于命题A，在平面内存在直线l平行于平面与平面的交线，则l平行于平面，故命题A正确对于命题B，若平面内存在直线垂直于平面，则平面与平面垂直，故命题B正确对于命题C，设m，n，在平面内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使am，bn，am，则a，al，同理有bl又abP，a，b，l故命
5、题C正确对于命题D，设l，则l，但l故在内存在直线不垂直于平面，即命题D错误故选D【例6】已知直线m、l和平面、，则能够推出的条件是（ ）Aml，m，l Bml，m，lCml，m，lDml，l，m【解析】由，如图 ，由 ，如图由 ，如图 ，所以选项A，B，C都不对又选项D能推出，所以D正确，故选D【例7】设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：若，则；若，则；若，则或；若，则其中正确命题的个数为（ ）A1 B2C3D4【解析】通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理，可以判断四个命题都正确故选D达标训练1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中
6、一定能推出的是（）A，且 B，且C，且D，且2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出的是（）A，且 B，且C，且D，且3已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）A若，则mB若，m，则C若，则D若，则4三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D，则5已知H是球O的直径AB上一点，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）ABCD6已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，则（ ）ABCD7在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）AB平面CD
7、平面8如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（ ） ABCD9如图，正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是直线的动点，则（ ）A存在点，使成立B存在点，使成立C不存在点，使平面平面成立D不存在点，使平面平面成立10如图，在正方形中，、分别是、的中点，是的中点，现在沿、及把这个正方形折成一个空间图形，使、三点重合，重合后的点记为，那么，在这个空间图形中必有（ ）A所在平面B所在平面C所在平面D所在平面11如图是一个几何体的平面展开图，其中为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线与直线异面；直线与直线异面；直线平面；平面平面其中正确结论的个数是（ ）A1个
8、B2个C3个D4个12如图所示，在斜三棱柱中，则在面上的射影必在（ ）A直线上B直线上C直线上D内部13设，为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，且，则；若，且，则其中所有正确命题的序号是（ ）ABCD14已知是所在平面外一点，两两垂直，且在所在平面内的射影在内，则一定是的（ ）A内心B外心C垂心D重心15已知平面，是直线，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16已知三条直线，及平面，具备以下哪一条件时（ ）A，B，C，D，17如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结
9、论中正确的有：（ ）总存在某个位置，使平面；总有平面；存在某个位置，使ABCD18如图，在正方体中，分别是，的中点，则下列说法错误的是（ ）AB平面CD平面19如图，已知四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点，则下列结论不正确的是（ ）A平面平面BC平面平面D平面平面20如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，则下列结论不一定成立的是（ ）AB平面CD平面平面21如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：；是等边三角形；三棱锥是正三棱锥；平面平面其中正确的是（ ）ABCD22空间四边形中，若，那么有（ ）A平面平面B平面平面C平
10、面平面D平面平面23如图甲所示，在正方形中，分别是、的中点，是的中点，现在沿、及把这个正方形折成一个四面体，使、三点重合，重合后的点记为，如图乙所示，那么，在四面体中必有（ ）A所在平面B所在平面C所在平面D所在平面24下列命题中错误的是（ ）A如果，那么内一定存在直线平行于平面B如果，那么内所有直线都垂直于平面C如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面D如果，那么25对于不重合的直线，和平面，要证需具备的条件是（ ）A，B，C，D，26如图所示，四边形中，将沿折起，使面面，连结，则下列命题正确的是（ ）A面面B面面C面面D面面27如图，在四形边中，将沿折起，使平面，构成三棱锥则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）A平面B平面C平面平面D平面平面28如图，点为正方形边上异于点，的动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列三个说法中正确的个数是（ ）存在点使得直线平面；平面内存在直线与平行；平面内存在直线与平面平行A0B1C2D329设，为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则43