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1、 1.2.2(2)1.2.2(2)复合函数及其求导复合函数及其求导普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学（选修数学（选修2-22-2）1.1.常见函数的导数公式常见函数的导数公式一一.复习引入复习引入(C为常数为常数 )；2.2.导数的运算法则导数的运算法则一一.复习引入复习引入法则法则1.1.法则法则2.2.法则法则3.3.特别地特别地（c为常数为常数）注：注：（1 1）前提条件是每一个函数存在导数；）前提条件是每一个函数存在导数；（2 2）和与差的导数可推广到任意有限个的情形；）和与差的导数可推广到任意有限个的情形；（3 3）商的导数是分子中间为）商的导数是分子中间为“
2、”，先对分子求导乘，先对分子求导乘以分母，再减去分母求导乘以分子。以分母，再减去分母求导乘以分子。一一.复习引入复习引入例例1 1：设设 y=xlnx，求求 y .典例精析典例精析课堂练习课堂练习设设 求求 y .例例2 2:（1 1）求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P()P()的切线的直线的切线的直线方程方程;(2)(2)若直线若直线y=3x+1是曲线是曲线y=ax3的切线的切线,试求试求a a的值的值.典例精析典例精析(2)(2)若直线若直线y=3x+1y=3x+1是曲线是曲线y=axy=ax3 3的切线的切线,试求试求a a的值的值.解解:(2)设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y
3、=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),则有则有:y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.由由,得得3x3x0 0+1=ax+1=ax0 03 3,由由得得axax0 02 2=1,=1,代入上式可得代入上式可得:3x:3x0 0+1=x+1=x0 0,x,x0 0=1/2.1/2.所以所以a(-1/2)2=1,即即:a=4:a=4典例精析典例精析如果曲线如果曲线 y y=x x3 3+x x-10-10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y y=4=4x x+3+3 平行平行,求切点求切点的坐标与切线方程的坐标与切线方程.解解:切线与直线切线与直线 y=4x+3 平行平行,切线斜
4、率为切线斜率为 4.又又切线在切线在 x0 处斜率为处斜率为 y|x=x03x02+1=4.x0=1.当当 x0=1 时时,y0=-8;当当 x0=-1 时时,y0=-12.切点坐标为切点坐标为(1,-8)或或(-1,-12).切线方程为切线方程为 y=4x-12 或或 y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.课堂练习课堂练习思思考考 如何求函数如何求函数y=y=（3x+23x+2）的导数呢？）的导数呢？我们无法用现有的方法求函数我们无法用现有的方法求函数y=y=（x+2x+2）的导数）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设若设u
5、=3x+2，则，则y=ln u.即即y=（3x+2）可以看成）可以看成是由是由y=ln u和和u=3x+2经过经过“复合复合”得到的，即得到的，即y可可以通过中间变量以通过中间变量u表示为自变量表示为自变量x的函数的函数.如果把如果把y与与u的关系记作的关系记作yf(u)，u与与x的关系记作的关系记作ug(x)，复合过程可表示为复合过程可表示为yf(u)fg(x)ln(3x2)如函数如函数y(2x3)2，是由，是由yu2和和u2x3复合而成的复合而成的1.1.复合函数复合函数:一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数yf(u)和和ug(x)，如，如果通过变量果通过变量u，y可以表示成可以表示成
6、x的函数，那么称这个的函数，那么称这个函数为函数函数为函数yf(u)和和ug(x)的复合函数，记作的复合函数，记作yf(g(x).二二.新课学习新课学习 2.2.复合函数的导数复合函数的导数:若若yf(g(x)，则，则 y f(g(x)f(g(x)g(x).二二.新课学习新课学习 复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u)y=f(u)，u=g(x)u=g(x)的导数的导数间的关系为间的关系为即即y y对对x x的导数等于的导数等于y y对对u u的导数与的导数与u u对对x x的导数的乘积的导数的乘积.解答问题解答问题由此可得，由此可得，y=y=(3x
7、+2)(3x+2)对对x x的导数等于的导数等于y=y=u u对对u u的导数与的导数与u=3x+2u=3x+2对对x x的导数的乘积，即的导数的乘积，即例例3：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成说出下列函数分别由哪几个函数复合而成,并求其并求其导数。导数。典例精析典例精析例例3:3:求下列函数的导数求下列函数的导数:(2)(3)y=tan3x;(4)典例精析典例精析课堂练习课堂练习例例4 4：求曲线求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线上的点到直线2x-y+3=0 的最的最短距离。短距离。解：设曲线在解：设曲线在点点平行则切点平行则切点p到直线到直线2x-y+3=0的距离即为的距离即为所求
8、所求处的切线与处的切线与2x-y+3=0 切点为（切点为（1，0）典例精析典例精析课堂练习课堂练习设设y=f(x)y=f(x)是二次函数，方程是二次函数，方程f(x)=0f(x)=0有两个相等的实有两个相等的实根，且根，且f(x)=2x+2.f(x)=2x+2.求求y=f(x)y=f(x)的表达式。的表达式。典例精析典例精析例例5 5：若可导函数若可导函数f f(x x)是奇函数，求证：其导函数是奇函数，求证：其导函数f f(x x)是偶函数是偶函数.证明：因为因为y=fy=f（x x）是奇函数）是奇函数 所以所以f f（x)=-f(-x)x)=-f(-x)两边同时对两边同时对x x求导可得求
9、导可得 f(x f(x）=-f(-x-f(-x）=f(-x)=f(-x)（1）已已知知函函数数f(x)是是偶偶函函数数，f(x)可可导导，求求证证：f(x)为为奇奇函数函数证明证明：（：（1）由于由于f(x)是偶函数是偶函数，故故f(x)f(x)对对f(x)f(x)两两边边取取x x的的导导数数，则则f(x)(x)f(x)，即即f(x)f(x)因此因此f(x)为奇函数为奇函数课堂练习课堂练习（2 2）已知函数）已知函数y y=f(f(x x)是可导的周期函数，试求证其导函是可导的周期函数，试求证其导函数数y y=f f(x x)也为周期函数也为周期函数.证明证明：（：（2）设设f(x)f(x)是一个以是一个以T T为周期的函数，为周期的函数，则有：则有：f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)两边同时求导，两边同时求导，则有则有 f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)可知可知f(x)f(x)的导函数仍然是周期函数。的导函数仍然是周期函数。1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式；2.导数的运算法则导数的运算法则；3.复合函数的导数复合函数的导数.课堂总结课堂总结课后作业课后作业