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1、第三章 导数及其应用基本初等函数的导数公式 注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定要求，大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出义来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出 我们知道世界上本没有中国象棋，我们中国人发明了中国我们知道世界上本没有中国象棋，我们中国人发明了中国象棋，但发明中国象棋后，象棋就有自身的规律，这个规律是客观象棋，但发明中国象棋后，象棋就有自身的规律，这个规律是客观存在不以人
2、的意志为转移。比如车要直线行走，马要对角跳，兵只存在不以人的意志为转移。比如车要直线行走，马要对角跳，兵只有过河了才能横行且只能前进一步，帅不能离开大本营。有过河了才能横行且只能前进一步，帅不能离开大本营。导数就像中国象棋，世界上本没有导数，自从牛顿、莱布导数就像中国象棋，世界上本没有导数，自从牛顿、莱布尼兹发明导数后，导数也有自己的规律或规则，这规律或规则是客尼兹发明导数后，导数也有自己的规律或规则，这规律或规则是客观存在不以人的意志为转移。那好这规率或规则是什么？观存在不以人的意志为转移。那好这规率或规则是什么？我们知道中国象棋在这规律或规则下可以演绎出精彩绝伦我们知道中国象棋在这规律或规
3、则下可以演绎出精彩绝伦的对棋，让人感叹给人美感给人智力上的愉悦和快感。的对棋，让人感叹给人美感给人智力上的愉悦和快感。导数就像中国象棋也它这些规律或规则的运作下求出许多导数就像中国象棋也它这些规律或规则的运作下求出许多复杂函数的导数，像中国象棋演绎出精彩绝伦的对棋。复杂函数的导数，像中国象棋演绎出精彩绝伦的对棋。导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数
4、加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:5有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则:(c为常数为常数）这是简化记忆公式。这是简化记忆公式。例例3 求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数.解：因为因为所以，函数所以，函数y=x3-2x+3的导数是的导数是 既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原
5、来的旧方法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。旧方法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。2.已知函数已知函数y=xlnx(1)求这个函数的导数求这个函数的导数(2)求这个函数在点求这个函数在点x=1处的切线方程处的切线方程切线方程是：切线方程是：y=x-1此题不用导数能用此题不用导数能用原来旧方法求切线原来旧方法求切线吗？我们用几何画吗？我们用几何画板来画出此函数的板来画出此函数的图像。图像。答：绝对是不可答：绝对是不可能的事能的事本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，再利用导数的运算法则(3)来计算。例题讲解例2.练习.还能用原来旧方法求切线方法吗？还能用原来旧方法求
6、切线方法吗？答：是绝对不可能的事。答：是绝对不可能的事。函数yxsinx的导数怎样求？既然导数可求，那就可以求出函数图像的切线方程，原来既然导数可求，那就可以求出函数图像的切线方程，原来的旧方法是绝对不可能求出切线方法的。我们用几何画板来画出此的旧方法是绝对不可能求出切线方法的。我们用几何画板来画出此函数的图像。函数的图像。例例2 假设某国家在假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为年期间的平均通货膨胀率为5，物价，物价p(单位：单位：元元)与时间与时间t（单位：年）有如下函数关系（单位：年）有如下函数关系 其中其中p0为为t=0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在
7、第那么在第10个个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式表，有因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的速度年的速度上涨。上涨。讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，分钱，但在不知不觉中物价已经让你承担不起。但在不知不觉中物价已经让你承担不起。例例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用
8、不断增加。已知将纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水吨水净化到纯净度净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90 （2）98解：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨 讲解为什么会有食品安全问题即净化食物随净化度的微小，讲解为什么会有食品安全问题即净化食物随净化度的微小，费用却是大幅度增加费用却是大幅度增加