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1、则则数数公公式式及及导导数数的的运运算算法法基基本本初初等等函函数数的的导导221 .,表表导数公式导数公式等函数的等函数的的基本初的基本初使用下面使用下面可以直接可以直接今后我们今后我们为了方便为了方便式式基本初等函数的导数公基本初等函数的导数公 ;xf, cxf.0 01 1则则若若 ;nxxf,Nnxxf.nn1 12 2则则若若 ;xcosxf, xsinxf.则则若若3 3 ;xsinxf, xcosxf.则则若若4 4 ;alnaxf,axf.xx则则若若5 5 ;exf,exf.xx则则若若6 6 ;alnxxf, xlogxf.a1 17 7则则若若 .xxf, xlnxf.1
2、 18 8则则若若 ?).(,p.tp,%ptp:t:p%,t01010 010101 10 05 51 15 520201 10 00 00 0精确到精确到是多少是多少的价格上涨的速度大约的价格上涨的速度大约这种商品的这种商品的个年头个年头那么在第那么在第定某商品的定某商品的假假时的物价时的物价为为其中其中关系关系有如下函数有如下函数年年单位单位与时间与时间元元单位单位物价物价率为率为胀胀年期间的年通货膨年期间的年通货膨假设某国家在假设某国家在例例 .ln.tp,t05051 105051 1有公式表根据基本初等函数导数解./.ln.p,年元所以08080 005051 105051 110
3、101010./.,年的速度上涨年的速度上涨元元这种商品的价格约以这种商品的价格约以个年头个年头在第在第因此因此08080 01010?,p速速度度大大约约是是多多少少这这种种商商品品的的价价格格上上涨涨的的年年头头个个那那么么在在第第如如果果上上式式中中某某种种商商品品的的思思考考1 10 05 50 0 .tftp,.tp,ptt、除除的的求求导导问问题题决决两两个个函函数数加加、减减、乘乘可可以以帮帮助助我我们们解解导导数数运运算算法法则则下下面面的的的的导导数数乘乘积积与与数数可可以以看看成成求求函函数数的的导导关关于于求求这这时时时时当当0 05 51 1t tg g5 50 05
4、51 15 55 50 0 导导数数运运算算法法则则 ;xgxfxgxf. 1 1 ;xgxfxgxfxgxf. 2 2 .xgxgxgxfxgxfxgxf.0 03 32 2 .xxy,的导数的导数求函数求函数和导数运算法则和导数运算法则的导数公式的导数公式数数根据基本初等函根据基本初等函例例3 32 22 23 3 xxxxy3 32 23 32 23 33 3 因为解.x2 23 32 2 .xyxxy,2 23 33 32 22 23 3 的导数是函数所以 .%;%:,.xxxc:%x.,.98982 290901 11001008080100100528452841 13 3化率化率
5、所需净化费用的瞬时变所需净化费用的瞬时变时时求净化到下纯度求净化到下纯度为为元元单位单位用用时所需费时所需费化到纯净度为化到纯净度为吨水净吨水净已知将已知将用不断增加用不断增加所需净化费所需净化费纯净度的提高纯净度的提高随着水随着水净化的净化的经过经过通常是通常是日常生活中的饮用水日常生活中的饮用水例例 xxc100100528452842 21001001001005284528410010052845284xxx2 21001001 1528452841001000 0 xx.x2 210010052845284.用函数的导数就是净化费净化费用的瞬时变化率解 ./.,%,.c吨元是费用的瞬
6、时变化率时纯净度为所以因为8484555590908484525290901001005284528490901 12 2 ./,%,c吨元是费用的瞬时变化率时纯净度为所以因为1321132198981321132198981001005284528498982 22 2 .,.%,%.cc,.xf度度也也越越快快而而且且净净化化费费用用增增加加的的速速需需要要的的净净化化费费用用就就越越多多水水的的纯纯净净度度越越高高明明这这说说倍倍的的左左右右时时净净化化费费用用变变化化率率为为度度净净纯纯约约是是大大率率化化费费用用的的变变化化净净时时右右左左它它表表示示纯纯净净度度为为计计算算可可知知
7、述述由由上上慢慢的的快快变变化化点点附附近近此此在在表表示示函函数数在在某某点点处处的的导导数数的的大大小小函函数数2 25 59 90 09 98 89 90 02 25 59 98 8 ?xlny的导数呢的导数呢如何求函数如何求函数思考思考2 2.,.xlny结构特点我们先分析这个函数的下面的导数求函数我们无法用现有的方法2 2.xuy,xxuulnyxlny. ulny,xxu的函数表示为自变量可以通过中间变量即得到的合复经过和可以看成是由从而则若设2 22 22 22 22 2 .xlnxgfufy,xguxu,ufyuy2 2过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,
8、xuuyxy,等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都3 32 23 32 22 22 2 .xgfy),ctionfuncomposite(xguufy,xy, u,xguufy,记作的和数那么称这个函数为函的函数可以表示成变量如果通过和对于两个函数一般地复合函数复合函数 .uyyxgu,ufyxgfyxux导数间的关系为的的导数和函数复合函数.xuuyxy的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即.xuxulnuyy,xxuuulnyxxlny,xux2 23 33 33 31 12 23 32 23 32 23 3即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由
9、此可得的导数的导数对对表示表示xyyx .,xsiny;ey;xyx.均为常数均为常数其中其中求下列函数的导数求下列函数的导数例例3 32 23 32 21 14 41 105050 02 2 .xuuyxy的复合函数和可以看作函数函数解3 32 23 32 21 13 32 2由复合函数求导法则有xuxuyy xu3 32 22 2.xu12128 84 4 .x.ueyeyux.的复合函数和可以看作函数函数1 105050 02 21 105050 0由复合函数求导法则有xuxuyy ux.e1 105050 0.e.e.x.u1 105050 005050 005050 0 .xuusinyxsiny的复合函数和可以看作函数函数3 3由复合函数求导法则有xuxuyy xusin.xcosucos