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长春工业大学 高等数学第十节闭区间上连续函数的性质第十节闭区间上连续函数的性质一一、最值定理、最值定理二、介值定理二、介值定理长春工业大学 高等数学注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理一、最值定理定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,长春工业大学 高等数学例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,长春工业大学 高等数学推论推论.由定理 1 可知有证证:设上有界.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.长春工业大学 高等数学定理定理3.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.长春工业大学 高等数学例例1.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则长春工业大学 高等数学上连续,且恒为正,例例2.设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:长春工业大学 高等数学 作业：作业：p-73习题习题1-10 2;3;4