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1、蚌埠学院 高等数学一、最值定理一、最值定理二、二、介值定理介值定理三、三、关于连续函数知识点总结关于连续函数知识点总结四、四、典型例题典型例题 第一章 4/12/20231蚌埠学院 高等数学1、定义:例如,一、最值定理一、最值定理类比：没有最小的正数；没有最大的负数；没有最小的正数；没有最大的负数；但是有最小的正整数但是有最小的正整数1 1和最大的负整数和最大的负整数-1-1。4/12/20232蚌埠学院 高等数学注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.2、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,4/12/20
2、233蚌埠学院 高等数学例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 注注2.闭区间上函数有间断点不成立.注注1.将闭区间改为开区间不一定成立.注注3.最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。4/12/20234蚌埠学院 高等数学推论推论.由定理1可知有证:设上有界.二、介值定理二、介值定理在闭区间上连续的函数在该区间上有界.零点：如果有 f()=0,则称 为 f(x)的零点。4/12/20235蚌埠学院 高等数学定理定理2.(零点定理零点定理)至少有一点使(证明略证明略)且几何解释:例例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点即在区间在区间内至少有内至少有使使4/12/202
3、36蚌埠学院 高等数学定理定理3.3.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.4/12/20237蚌埠学院 高等数学上连续,且恒为正,例例2.设在对必证证:使令,则使故由零点定理知,即当时,取或,则有证明:4/12/20238蚌埠学院 高等数学另例:证由零点定理,4/12/20239蚌埠学院 高等数学内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在4/12/202310蚌埠学院 高等数学证明至少使提示提示:令则易证1.设作业作业 P73 题 2;3;4思考与练习思考与练习4/12/202311蚌埠学院 高等数学不正确不正确.例函数例函数但但)(xf在在)1,0(内无零点内无零点.)(xf在在)1,0(内连续内连续,下述命题是否正确？4/12/202312