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1、第2讲不等式选讲限时训练（建议用时：45分钟）选题明细表已知 f(x) = |x+l| + |x-m|.知识点、方法题号解绝对值不等式及绝对值不等式的性质1,2,3与绝对值不等式有关的恒（能）成立问题1,3不等式的证明4若f (x) 22,求实数m的取值范围;(2)己知ml,若(T, 1)使f (x) x2+mx+3成立,求实数m的取值 范围.解：因为 f (x) = |x+l | +|m+l|,所以只需要|m+l|22,所以 m+122 或 m+lW-2,所以实数m的取值范围是(-8, 3 U 1, +8).因为ml,所以当xe (T, 1)时，f (x)=m+l,所以不等式f (x) 2x
2、2+mx+3成立,即mx+mx+Z成立,所以m(l-x) 2令 g（x）上邑且上）2 2（i x）+3=因为（Kl-xC, l-x1-x1-X所以（1-x）+22巡（当且仅当x=l-百时取等号）， 1-x所以 g（x）min=2V3-2,所以 m2V3-2.所以实数rn的取值范围是2代-2, +8).1. (2019 济南模拟)已知函数f(x) = |x-2| + |2x-l|.求不等式f(x)W3的解集；若不等式f(x) Wax的解集为空集,求实数a的取值范围.(-3x4-3,% 解：(1)法一 由题意得f (x)=( + 1, i % 2,当 xW工时,f (x)=-3x+3W3,2解得x
3、20,即04号当x2 时，f (x)=x+l3,解得xW2,即乂x2.2当 x22 时,f(x)=3x-33,解得xW2,即x=2.综上所述,原不等式的解集为0, 2.-3% 4- 3, % x + l,|x 2,作出f(x)的图象如图所示，注意到当x=0或x=2时,f (x) =3,结合图象，不等式的解集为0,2.(2)由(1)可知,f (x)的图象如图所示,不等式f(x)ax的解集为空集可转化为f(x)ax对任意xR恒 成立，即函数y=ax的图象始终在函数y二f (x)的图象的下方，当直线y二ax过点A(2, 3)以及与直线y-3x+3平行时为临界情况，所以-3Wa3的解集;若0水2,且对
4、任意xeR, f(x) 2。恒成立，求2的最小值.2a解：(1)当 时，f(x) = |x+l| + |2x-l|,-3x, x -1,-x + 2,-lx |.法一 如图,作函数f (x)数x+1 | + |2x-l |的图象,它与直线y=3的交点为 A(-1,3),B(1,3),所以 f(x)3 的解集为(-8,一1) U (1, +8).法二 原不等式f(x)3等价于、或1或.、一% + 2 31 % T, 2 .3% 3,解得Xl, 所以 f(x)3 的解集为(-8,一1) u (1,+8).(2)因为 0a0, a-20.a 2则 f(x)=|ax+l|+12x-l|=( 1一(a
5、+ 2)%, % a/ 、 1 1 (a-2)% + 2, - x 乙所以函数f (x)在(-8,1)上单调递减,在(i +8)上单调递增.所以当x时,f(x)取得最小值，f (x) min-f G)= 1+: 22因为对RxR,f(x) 2：恒成立，2a所以f(x)4l+m222 2a又因为a0,所以 a2+2a-30,解得a21 (aW-3不符合题意).所以a的最小值为1.4.已知 a0, b0.若 c0,证明:a+4b+c222V+VHc+2VFc;若ab,证明:2a+上畔需岁22b.a2-2ab+b2证明：依题意,a+4b24而，当旦仅当a=4b时等号成立.a+c222vHc,当且仅当
6、a二c之时等号成立.4b+c24Vhc,当且仅当4b二0z时等号成立.三式相力口，可得2a+8b+2c224质+2vHe+4仍g即 a+4b+c2V+VHc+2Vc,当且仅当a=4b=c?时等号成立.因为ab, 所以a-b0.3.诉 Q l+6ab-3a2-3b2 o 1-3(a-b)2 o 1而 2a+7 r ？ =2a+1-=2a+-7 a2-2ab+d2(a-b)(a-b)要证 2a+-322b,即证 2(a-b) +23, (a-d)(a-d)即证(a-b) + (a-b) + 1 23f (a-b)而6也+（5）+康23/ab) (a-b) 1 2=3,(a-b)当且仅当士二a-b, (a-b)即a-b=l时等号成立，所以2a+-l+6ab-3a23b2a2-2ab+b222b.