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1、第二十三讲不等式选讲高考考点考点解读不等式的证明与不等式的性质相结合，考查综合法在比较大小中的应用绝对值不等式的解法1.求解绝对值不等式的解集2与集合、概率等内容相结合命题3与不等式的恒成立相结合考查求解参数的取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题题型多为解答题，难度为中档Z 1绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)|axb|c
2、(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c(c0)caxbc.|axb|c(c0)axbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想3证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法4二维形式的柯西不等式若a，b，c，dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立,Y 1应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件特别是多
3、次使用不等式时，必须使等号同时成立2利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可3在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.1(2018全国卷，23)已知f.(1)当a1时，求不等式f1的解集；(2)若x时不等式fx成立，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)结合函数图象可知，不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,22(2018全国卷，23)设函数f(
4、x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集(2)若f(x)1，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(，62，)3(2018全国卷，23)设函数f.(1)画出yf的图象；(2)当x时， faxb，求ab的最小值解析(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0
5、，)成立，因此ab的最小值为5.4(2018江苏卷，21D)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解析由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.5(2017全国卷，23)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解析(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而19.(
6、2)设关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，BxR|2x1|3，如果ABA，求实数a的取值范围解析(1)当a5时，关于x的不等式f(x)9，即|x5|x2|9，故有；或；或.解求得x3.综上可得，原不等式的解集为x|x3(2)设关于x的不等式f(x)|xa|x2|x4|的解集为A，BxR|2x1|3x|1x2，如果ABA，则BA，所以即求得1a0，故实数a的范围为1,0规律总结1用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值2图象法求解不等式用图象法，数形结合可
7、以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法G (2016全国卷，24)已知函数f(x)|x1|2x3|.()画出yf(x)的图像；()求不等式|f(x)|1的解集解析()f(x)yf(x)的图像如图所示()由f(x)的表达式及图像知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x|x5所以|f(x)|1的解集为x|x或1x5 例2 设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0.得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与
8、b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立规律总结本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注G (2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M.(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解析(1)当x时，f(x)xx2x2，解得1x；当x时，f(x)xx1时，f(x)2x2，解得x1.
9、综上可得，Mx|1x0，即a2b21a2b2，则a2b22ab1a22abb2，则(ab1)2(ab)2，即|ab|ab1|. 例3 (2018汉中二模)设函数f(x)|x1|xa|，(1)若a1，解不等式f(x)3.(2)如果任意xR，f(x)2，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，由f(x)3有|x1|x1|3，据绝对值几何意义求解|x1|x1|3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数左侧的点与数右侧的点与数1与1的距离之和不小于3，所以所求不等式解集为(，)(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于
10、2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a(，13，)规律总结1求含绝对值号函数的值的两种方法(1)利用|a|b|ab|a|b|求解(2)将函数化为分段函数，数形结合求解2恒成立(存在)问题的等价转化f(x)Mf(x)M任意x恒成立f(x)minMf(x)maxM存在x成立f(x)maxMf(x)minMG 已知函数f(x)|x5|x2|.(1)若存在xR，使得f(x)m成立，求m的范围(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解析(1)f(x)|x5|x2|当2x5时，372x3，所以3f(x)3，所以m3.(2)不等式x28x15f(x)0，即f(x)x28x15由(1)可知，当x
11、2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15，即x210x220，所以5x0；(2)当x(，2)时，f(x)2时，1x0，即x0，即x，解得x；当x0，即x1，解得1x.不等式解集为x|1x(2)2x|2xa|02x|2xa|x恒成立x(，2)，a22，a4.2(2018南宁二模)设实数x，y满足x1.(1)若|7y|0，y0，求证：xy.解析(1)根据题意，x1，则4xy4，即y44x，则由|7y|2x3，可得|4x3|2x3，即(2x3)4x32x3，解得1x0，y0，1x2，即1，xy(1)，又由07；当x2时，得x1x27，解得x4；当1x2时，得x12x7
12、，无解；当x7，解得x0；(2)已知关于x的不等式a30化为或或x，即不等式的解集为(，4)(，)(2)f(x)min，要使a3f(x)恒成立，只要a3，a4；(2)若xR，使得不等式|x3|xa|4成立，求实数a的取值范围分析(1)按x0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解(2)xR，使不等式f(x)4当x3时，2x34，解得x.当0x4，无解当x4，解得x.故解集为x|x(2)由xR，|x3|xa|4成立可得，(|x3|xa|)min4.又|x3|xa|x3(xa)|a3|，即(|x3|xa|)min|a3|4.解得1a7.3(2018临川二模)已知函数f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3，求实数a的取值范围(2)若a1，xR，求证：f(x)2.解析(1)因为f(1)3，所以|a|12a|3.当a0时，得a(12a)，所以a0；当0a时，得a(12a)2，所以0a；当a时，得a(12a)3，解得a，所以a1的解集为M.(1)求M；(2)已知aM，比较a2a1与的大小解析(1)f(x)|x|2x1|由f(x)1，得或或解得0x2，故Mx|0x2(2)由(1)，知0a2，因为a2a1，当0a1时，0，所以a2a1.当a1时，0，所以a2a1.当1a0，所以a2a1.综上所述：当0a1时，a2a1.当a1时，a2a1.当1a.