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1、1 .数字信号处理概述.离散时间信号2 .线性时不变系统.信号与系统的相互作用3 .离散傅里叶变换.快速傅里叶变换4 .数字滤波器概述.有限冲激响应滤波器5 .无限冲激响应滤波器收系统的频率响应是回波信号的傅里叶变换先求共粗，再乘上一个相移因子。时域：h(n) = Ks(no-n),即最佳接收系统的单位冲激响应式回波信号在时间轴上先折叠，再平移。频域分析最佳接收系统的幅频响应等于回波信号的幅频特性，在没有信号分量的频率上，噪声完全被抑制。 信号通过系统之后，相位都被抵消了，这样所有的不同频率的信号在0时刻的相位都是相同的，因而 在这个时刻点上的输出具有最大值。时域分析s0(n)=rss(n-n
2、o),系统输出信号实际上就是回波信号的自相关函数。最佳接收系统又称为相关接收系 统。一般情况下，噪声和信号是没有相似性的，因此，通过相关接收系统之后，很自然就尽可能抑制 了噪声。信号和自身是最相似的，就尽可能的放大了信号。在高斯白喔声背景下，错误概率最小准则下的最佳接收系统等效于输出信噪比最大准则下的最佳接收系 统。卷积表征的是一般意义上的信号与系统的相互作用，即任意的信号通过LTI系统(由单位冲激响应来表示)， 都可以表示为卷积的关系。而相关表示的则是信号通过最佳接收系统这一特殊的系统。对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。面对随机信号，由于理论上持续 时间无限长，不满
3、足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅里叶变换，所以常用功率谱来描述。周 期性的信号，也同样是不满足傅里叶变换的条件，也常用功率谱来描述。第五章离散傅里叶变换DFT离散傅里叶变换/2%X(k)=漆5离散傅里叶逆变换X(n)=初版 X(k)2rr/N)nkX(k)通常为复数，可用实部虚部的方式，也可以表示为幅度相位的方式。频率，幅度，初始相位这三个参数完全决定了一个复正弦信号。对离散时间信号来说，信号的频谱表示为信号的DTFT。比较DTFT和DFT的表达式，可以很容易的发 现：X(k) = X3 H 3=(27r/N)k可以发现，x(k)是X(*)的采样值，即DFT是DTFT的采样值，采样间隔
4、为2H/N.在3 = 2TTf, f表示信号的模拟频率(即线频率)，fs为系统采样频率，3为对应的数字频率。现实中 的信号多是模拟信号，离散信号多是从模拟信号采样得到的。模拟频率的物理意义非常清晰(表示物体震 动快慢的物理量)。DFT结果幅度和相位的理解在X(k)=一片中，令Bn=x(n) ,7张。n,Bn为单位圆上的旋转向量， 旋转的速度为= 6)o- 2nk0/N ,则X(k)= Xn=o Bn 随着叩的增加，向量相加的结果的幅度会逐步减小，相位则会逐步增加。同时在DFT的结果中包含了 原始信号的初相信息。DFT具有：隐含的周期性和循环卷积的特性，与DTFT和Z变换不同。X(k)的幅频特性
5、和相频特性都隐含着是周期性了。X(k)和x(n)都是周期函数,周期分别为N和no 频域的采样同样等效于时域的周期延拓，并且延拓的周期为N。只要对x(n)进行DFT ,客观上就已经 将x(n)进行周期延拓了(N可以很大，主观上我们还没有意识至少。隐含着周期性条件下的卷积称为循环卷积，又称为圆周卷积。数学公式表示为：y(n) = h(n)0x(n) = 霹- 7m)Q , 0 n N-1 ,其中(5 - m)N表示的是周期性的x(n)移位m点之后，再取OW n 0对于任意给定的k=k0,都可以看作是信号x(m)通过系统%(m)在m=N时刻的输出。因此,x(n)的DFT结 果X(k),可以看作是信号
6、x(n)通过一组滤波器/1-(九)在n=N时刻的输出。令hk(n) = exp(j(2TT/N)kn) , n=l,2,3,4N ,由hk(n)的频率响应可知,当k取值不同时，hk(n)的幅频特性 形状都完全一样，都具有sine函数的形状，不同的只是频率中心发生变化，第ko个滤波器幻。5)的频率 中心位于3=2T!ko/N。(注意观察滤波器组的幅频特性)在信号处理中，频域分析基本上就等同于傅里叶分析，但就傅里叶分析来说，又有多种具体的方法，比 如对离散信号有离散时间傅里叶变换(DTFT),离散傅里叶变换(DFT 对连续信号有傅里叶级数(FS 1 傅里叶变换(FT I1 .傅里叶级数FS在满足一
7、定条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。周期连续 非周期离 散.傅里叶变换FT即傅里叶积分。非周期连续 非周期连续.离散时间傅里叶变换DTFT对非周期的连续信号进行时域采样，得到非周期的离散信号，非周期离散信号的傅里叶分析称为 离散时间傅里叶变换。DTFT是周期的。非周期离散。周期连续.离散傅里叶变换DFT对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。周期离散 周期离散注：实际上，按照传统命名规则，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数或离散时间傅里叶级数更为妥当。 而对非周期离散信号的傅里叶分析才应该叫离散傅里叶变换。但本书中将离散傅里叶级数的分析隐含在 离散傅里叶变换中。在FS、FT
8、、DTFT、DFT中，时域的周期性对应着频域的离散性，时域的离散性对应着频域的周期性。 最重要的是DFT。因为前面三种都需要假定信号的时域或者频域是无限长的。计算机等数字设备只能处 理数字信号，也即要求无论是时域还是频域，都要是离散的。DFT 与 DTFTDFT可以看作是DTFT在频域上的等间隔采样的结果。DFT定义为刈叫间隔为g=2TI/N的等间隔采样， 因而不存在混叠。由于DFT不存在时域上的混叠，因此由X(k)可以不失真地恢复出Xw),数学表达式为x(蚂= X二i X，(爷5=中 n=0n=0n=0k=0.泄漏造成泄漏的原因主要是DFT所等效的N个滤波器组中，没有一个滤波器的中心频率和信
9、号的频 率相等,导致单频复正弦信号在滤波器主瓣内幅度有所抑制，信号能量有一部分散落到滤波器的 副瓣内。频谱泄漏是经常的，危害也很大，会导致信号的误判。分为主瓣泄漏和副瓣泄漏。实际的信号都被噪声污染了，副瓣的值很难参考。主瓣泄漏是因为复正弦信号的频率同时处于两个滤波器的主瓣范围内副瓣泄漏则是由于滤波 器存在副瓣。为了抑制频谱泄漏，不仅要降低滤波器的主瓣宽度，同时还希望降低副瓣的宽度。1 .加窗数据截短的过程称为加窗，数据截短会带来频谱的泄漏。直接对数据进行截短，等效于将信号 与脉冲信号相乘。时域上的突然变化，意味着频域上存在很高的频率分量。所以只要抑制了这些高 频分量，就能降低副瓣电平，从而有效
10、抑制副瓣的泄漏。窗函数起始处和结束处越平坦,对副瓣 的抑制应该会越好。频率分辨率通常与主瓣宽度的变化趋势一致，即主瓣越宽，频率分辨率越低。2 .分辨率主瓣半功率点之间的宽度。在DFT中，通常用2H/N来表示脉冲信号的数字频率分辨率，用1/T表 示模拟频率分辨率。脉冲信号的频率分辨率为脉冲宽度的倒数。为了提高频率分辨率，要尽量增加 信号的有效长度。当信号持续时间为无限长的时候，其频率分辨率趋于0。时间分辨率越好，则 对应的频率分辨率越差，这就是信号处理中的不确定性原理。3 .补零DFT可以看作是对离散信号连续频谱在频域的采样，只要频域采样点数M大于等于时域长度N ,则 可以减小栅栏效应，同时也满
11、足频域采样不混叠的要求。在频域上增加采样点数等效于在时域上补 零。从信息的角度，补零并不增加新的信息，自然也就谈不上改善分辨率。区分物理分辨朝口计算分辨率。矩形窗的物理分辨率为0.89F/N ,计算分辨率为2WN。两者非常 接近，但不完全相等。4 .增益信号处理系统的一个目标是尽量放大信号而抑制噪声，这个目标通常是用增益来表征的。增益G =安，分子分母分别表示输出输入信噪比。SNRinDFT能够很好地抑制噪声，其增益与DFT的点数N有关，G = lOloglON,对信号所在的窄带滤波器 来说，信号能完全通过，而噪声却只能通过1/N。第六章快速傅里叶变换FFT在工程实践中，DFT面临的主要问题是
12、运算效率低，很难用于实时处理。X(k)=一度*叱；%5)卬炉，W炉为自旋转因子DFT的运算量与M成正比，显然N越小越有利，因此就很自然地希望能将大点数的DFT分解为多个 小点数的DFT来计算，分解过程中充分利用旋转因子的对称性，周期性，可约性和特殊值。FFT算法主要分为两大类：按时间抽取方法(DIT)和按频率抽取方法(DIF)根据抽取长度，FFT又 分为基2基-4等算法，在一个DFT运算中还可以同时采用不同基的混合基算法，也称为分裂基算法。基-2 DIT FFT算法按时间抽取算法是指在时间上将信号长度逐步减小的算法，基-2算法则是指以2为基底降低信号长度的 过程。X(k) = X0(k) +
13、W1fxi(k) , k= 0,1,., N/2 -1X(k+N/2) = X0(k)-赚Xi (A) , k= 0,1，,N/2 -1一次分解后，运算量近似为直接计算的1/2.一点的DFT就是信号本身,两个一点的DFT或者一个两点的 DFT,正好构成一个基本的蝶形运算。因此，通常将大点数DFT按级分解，直到DFT的点数变为2.(即 将N点的DFT分解为N/2个2点的DFT ) 级的概念：M= log同址运算：原位运算，指的是在运算过程中，输入和输出占用相同的存储地址,从而可以节约存储空间， 进而节约存储空间。存放数据的存储单元始终为N个。输入信号不是按自然)11页序存储的看起来好像杂乱无章，
14、但实际上是按照倒位序排列的(偶数在上，奇 数在下I倒位序的实现：当n=(时，不必调换。否则，必须将x(n)与)调换。在DIF FFT (按频率抽取)中，输入x(n堤正常JII踮的输出X(k)是倒位序的。分裂基FFT算法，先是如基-2算法一般将x(n)分解为偶数点部分和奇数点部分。对偶数点部分按基-2算 法来分解，对奇数点部分是按基-4算法来分解。分裂基FFT算法同样也可以按时间抽取或者按频率抽取。 在满足基-4算法运算条件的前提下,基-4算法效率比基-2算法更高。在已知的N=2M的各种算法中， 分裂基算法的运算效率是最高的。基-2 ,基-4和分裂基算法都是常用的FFT算法。基-4算法虽然运算效
15、率高于基-2算法，但其所要求的 N=4M的条件比基-2算法要严苛。在不满足的情况下，补零的个数过多，反过来B斜氐了运算效率。分裂 基算法的运算效率也高于基-2算法，但编程的复杂度也比较高。因此，在实际中最常用的还是基-2算 法。旋转因子的生成在实际的FFT运算中,通过计算第=cos （等）一由皿2河0）来生成旋转因子。一种有效的方法是查表法。IDFT的快速计算IDFT ： x =92屋（X”卬胪实信号的FFT（提高效率）.两个实信号的FFT1 .一个2N点的实信号的FFT将实信号的FFT转换为复信号的FFT。在数字信号处理的工程实现中，往往用DSP芯片来实现具体的算法对每一种型号的DSP ,硬
16、件开发商 都会给出优化后的FFT算法源代码一般情况下直接调用就可以。但是，在某个具体的应用中，可能会遇 到大点数FFT的问题，因为芯片内存不足而导致FFT需要分解的问题。两类特殊的频率分析算法有时只需要计算某个或者某几个频点的X（k）值，而不需要计算所有的X（k）的值。也许有时候只需要分析 信号在某一个很小频段的频段值，而且要对这很小频段范围的频谱值进行比较精细的分析，此时也无 法直接用FFT算法。1. Goertzel 算法利用递推的方法来计算频谱值，在只需要计算很少几个频点的频谱值得情况下，Goertzel的效率高于 FFT算法。2. ChirpZ 算法利用卷积的方式来实现频谱的分析，期间
17、也用到了 FFT。当分析的信号频带很窄的时候，并且要求 的分辨率非常高的情况下,用ChirpZ算法比补零FFT效率更高。实际上,ChirpZ算法不仅是分析频域， 它还能分析Z平面上任意一段弧线的响应。第七章数字滤波器概述数字滤波器是一个按预定的有限精度算法实现的、将输入的数字信号转换为所需要的输出数字信号的线性 时不变系统LTL滤波器是是一种对信号有处理作用的器件或电路，其主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过，对无 用信号尽可能大地衰减。由电阻，电容和电感等元件组成的模拟滤波器广泛应用于各种信号处理系统 中，优点是处理速度快，处理带宽大，无需ADC及DAC器件；其缺点是稳定度及精度比较差，可
18、 重复性不强及抗干扰能力弱。数字滤波主要有两种用途：信号的分离和失真信号的恢复没有特别指明的情况下，数字滤波器与线性时不变系统是等价的，因此，描述LTI系统的工具均可用 于描述数字滤波器，这些描述工具包括：差分方程，单位冲激响应，传递函数（H（z）=Y（z）/X），频率响 应（幅频响应和相频响应）等。数字滤波器的分类.从单位冲激响应的角度分类有限冲激响应FIR和无限冲激响应HR.从频率响应的角度分类低通滤波器，高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器、全通滤波器（用于改善信号的相频响应）实际数字滤波器的性能参数截止频率：滤波器增益为0.707时的频率，即-3dB所对应的频率。通带边沿频率：滤波器增益
19、为I-6时的频率。截止频率通常要大于通带边沿频率。增益和衰减都表示滤波器对某个频率分量幅度上的影响，增益通常指对信号的放大，衰减通常对 信号的抑制。假定通带偏差距=0.1 ,阻带偏差演=0.05 ,如果理想增益为1 ,则通带边沿增益为1- 0.1=0.9 或 20log100.9=-0.915dB ,阻带边沿增益为 0.05 或 20logi00.05=-26.02dBo 用 dB 做单位时，衰减是 增益的负值。这样，也可以说是通带边沿的衰减为0.915dB ,阻带边沿的衰减为26.02dB。表征实际的数字滤波器的性能参数时,更重要的却是单位阶跃响应，即滤波器输入为单位阶跃信号时 滤波器的输出
20、。阶跃函数是表现两个不同区域之间边界的最好方式，它能标记事件何时发生、何时结 束，也能指出分界点左边的事物与右边的事物有何不同。一组阶跃函数把信号分割成有相似特性的若干 段，而阶跃响应则描述了滤波器如何修改这些分界线。讨论实际滤波器的性能时，时域参数和频域参数都没有考虑滤波器的相位。这主要是因为相位在有些 频域应用中不太重要。比如，语音信号中的相位几乎是随机的，而且不包含任何有用的信息。另外, 相位的失真匕匕较容易补偿。在确定了幅频响应的情况下，相频响应可通过全通滤波器很方便地调整。数字滤波问题的一般解决方案过程如下：1 .在具体的应用背景中提取出数字滤波器的性能参数。2 .选择合适的滤波器类
21、型，主要是确定使用FIR滤波器还是IIR滤波器.采用适当的方法，利用计算机辅助软件，计算出滤波器的系数3 .用一个适当的结构来表示滤波器。4 .分析有限字长对滤波器性能的影响。5 .用软件及硬件来实现滤波器算法。频域性能出色的滤波器往往时域性能较差,反之一样。在确定滤波器类型时，有两点比较确定:一是当过渡带宽这个指标非常重要并且要求非常苛刻的时候，也 即滤波器要求锐截止时，首选HR滤波器，因为此时用FIR滤波器所需的系数非常多，效率低；二是当 相位的线性性要求非常苛刻时，首选FIR滤波器，因为即便增加相位补偿处理，HR滤波器在边沿仍然有 比较明显的非线性。第八章有限冲激响应滤波器信号处理，就是
22、从一个错综复杂的信号中提取或增强有用的信息，同时抑制其中的有害信息，为提取， 增强，存储和传输有用信息而设计的一种运算。数字信号处理，就是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。1965年FFT算法问世。数字信号处理的主要研究内容包括以下10个方面：1信号的采集，包括模/数变换技术，采样定理等2离散时间信号的分析，包括时域即频率分析，离散傅里叶变换等3离散系统的分析，包括差分方程，单位冲激响应，频率响应，频率响应，Z变换等4信号处理中的快速算法，包括快速傅里叶变换，快速卷积与相关等5数字滤波技术，包括各种滤波器的设计与实现等6信号的建模，包括MA, AR及ARMA等各种模型7信号的传输与存储，
23、包括信号的各种调制方式，压缩算法等8信号的检测与估计，包括信号的参数估计、波形估计、各种检测算法等9数字信号处理的实现，包括软件实现与硬件实现10数字信号处理的应用构筑经典数数字信号处理的两大基石是线性时不变系统和高斯白噪声。理解数字信号处理的三把钥匙：时域与频域的相互切换，向量和MatLab软件。时域与频域之间联系的桥梁是傅里叶变换。向量的长度表示了信号的幅度，旋转的速度表示了信号 的频率。数字信号处理和数字信号处理器不同，DSP通常指的是后者。第二章离散时间信号信号通常是随时间或空间变化的有限实值函数。自然界的信号，目前为止都是实数的，暂时还没发现自 然的复数信号。信号处理中用到大量的复数
24、信号主要是为了数学处理上的方便。信号可分为：1确定信号与随机信号确定信号可分为周期信号和非周期信号，随机信号可分为平稳信号和非平稳信号2连续信号与离散信号3模拟信号与数字信号注：连续信号和模拟信号不完全相同，离散信号和数字信号也不一样。模拟信号和数字信号要求更严 格，前者要求幅度变化必须连续，后者要求幅度变化必须离散。连续和离散无此要求。典型信号有：1单位冲激信号冲激串的频谱仍然是）中激串。频域冲激串间隔Qs和时域冲激串间隔Ts满足工=2TI/TS =2T!f52单位阶跃信号3脉冲信号（矩形信号），与单位阶跃不太一样4正弦信号模拟角频率3与模拟频率f不同，to =2lT/T = 2TTf ,
25、f=l/T,模拟角频率3表示振动物体在211秒内振 动的次数，或者说是每秒转过的弧度o模拟频率f表示物体在is内振动的次数，表示振动快慢的物理 量。模拟频率f、模拟角频率Q和数字角频率3三者的关系如下：其中Q=2T!f0）=211/7；=等=。/人，其中人为采样频率。Js凡是经模拟信号采样后得到的离散信号，其模拟角频率和采样频率与数字角频率成线性关系。或者说，数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。5指数信号信号基本运算：加，减，累加，乘（时间尺度变换）,移位（延时，时移）信号处理发展的历史,在某种程度上可以看做是信号与噪声相互斗争的历史，信号处理的主要目标之 一就是如何区分信号与噪声。
26、人们常用概率统计的方法来描述噪声，因为噪声是随机信号，没有标准的函数表示。对于给定的时 刻n,噪声v（n）的取值服从某种分布，比如均匀分布或者高斯分布。经典数字信号处理最基本的假设 之一就是假设噪声为高斯白噪声。从模拟信号到数字信号：采样-量化-编码时域采样等效于频域的周期延拓。频域采样等效于时域的周期延拓。信号的带宽是一个描述信号变化速度快慢的物理量，就是最高频率分量和最低频率分量之差。信号 采样等效于数学运算，模拟信号与一串冲激函数的乘积。量化是指将信号幅度的连续取值近似为有限多个离散值的过程，会产生误差（即量化误差，量化噪 声1量化主要应用于从离散信号到数字信号的转换中。模拟信号经采样称
27、为离散信号，离散信号经过量 化称为数字信号。两个相邻的量化电平之差称为量化分辨率,其值为A=2Vm/M ,其中M=2B , B为量化位数。量化误差是一个随机变量，且可以看作是一个服从均匀分的白噪声信号，即量化的过程可以等效为采样 后的离散信号加上一个服从均匀分布的白噪声。所以，分析量化误差的影响时，使用加性噪声模型。 热噪声是信号中最基本的噪声分量，这时对量化噪声的要求就是要小于信号中的这些基本的噪声。量化后的信号只有有限个离散幅度值，编码的过程就是将量化的信号电平值转换成二进制码组的过 程。数字的表示格式有三种，原码，反码，补码。补码应用最广。分辨率固定不变的是定点数，分辨率浮动变化的是浮点
28、数。在数字信号处理的硬件设备中，编码是通过数字逻辑电路来实现的。在数字信号处理的硬件设备中， 包括采样，量化和编码在内的模拟信号数字化的整个过程都被集成为一个芯片来实现，完成这整个功 能的芯片就是模/数转换器（ADC）。当采样频率大于信号中最大频率的两倍时，采样后的数据可以不失真地描述原始信号（用频率描述原始 信号，即采样后视频率和原始信号的频率一样）。当采样频率不满足这个条件时，会出现频率折叠和频率 重复。通常称采样频率的一半为奈奎斯特频率。在满足采样定理的情况下，如果系统的主要矛盾是量化噪声，那么采样频率尽可能高一些，如果主 要矛盾是硬件开销，那么采样频率尽可能低一些。数字信号化过程中的参
29、数选择：主要包括抗混叠滤波器的截止频率及阻带衰减，采样频率和量化位数这4 个参数的选取原则。数字信号是周期延拓的，理想的情况下，将数字信号通过一个理想的低通滤波器，即可得到模拟信号的 频谱。从数字信号到模拟信号的转换:理论上是通过一个理想低通滤波器，实际中是通过信号保持电路和抗镜像 滤波器实现。经过保持电路之后，两个离散时刻之间的空隙被填满了，填充的数值是当前的样本值。 从时域的角度看，填平空隙后额信号比采样信号更光滑了 ；从频域的角度看，采样信号中频率较高的 部分被滤掉了。经过保持电路之后，虽然比采样信号更光滑一些，但在新的样本值得地方还是存在四欧， 这种时间上的突变从直观上很好理解,就是还
30、有一些高频分量。这是因为相对于理想的低通滤波器，保 持电路所等效的低通滤波器在阻带的衰减还比较大，导致高频分量没有得到完全抑制。对于经保持电路 还残存的高频分量，再通过一个低通滤波器就可以较好地恢复出模拟信号。后面的这个低通滤波器通常 称为抗镜像滤波器。第三章线性时不变系统LTI如果一个系统任意时刻的输出至多取决于本时刻的输入，而不依赖过去和将来时刻的输入，则该系 统称为静态系统或无记忆系统，比如放大器就是一个典型的静态系统。在其他情况下,系统称为动 态系统或有记忆系统，比如单位延时器就是一个典型的动态系统。线性：一个系统具有齐次性(比例性)，又具有可加性，则称该系统为线性系统。时不变:系统的
31、输入/输出关系不随时间而变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时 间无关。y(n-k) = Tx(n-k),将输入x(n)直接延时k个单位和将y(n)直接延时k个单位。(若输入信 号仅是延迟关系，那么输出信号之间也是相同的延迟关系)因果系统：系统在任意时刻n的输出只取决于当前和以前时刻的输入。现实中的实时信号处理系统都 是因果系统。稳定系统：输入输出都有界的系统。在连续系统的时域表示中，常用微分方程来进行描述。在离散系统中，用差分方程来描述。LTI系统的时域描述：差分方程(离散系统)，单位冲激响应h(x)两类最常用的LTI系统：1 FIR(有限冲激响应)系统：h(n)只在某一有限时
32、间段内的取值不为0 ,在这个时间段之外的取值均为0.2 IIR(无限冲激响应)系统：h(n)的取值在整个时间范围内都不为0.在数字信号处理中，LTI系统常被称为滤波器，因此FIR系统也称为FIR滤波器，同样，IIR系统称为 IIR滤波器。LTI系统的特征信号用齐次性，可加性和时不变性来定义了一个LTI系统，用差分方程和单位冲激响应来描述了 LTI系统。 复正弦信号是LTI系统的特征信号，即复正弦信号通过一个LTI系统后，其频率保持不变。频率不变性 是LTI系统的特征，非LTI系统没有频率不变的特性。将信号分解为多个复正弦信号之和，然后再研究系统对复正弦信号响应的研究方法，在信号处理 中称为傅里
33、叶分析。对信号和系统进行频率分析的工具是傅里叶变换。对信号的频率分析也称为频谱计 算，对系统的频率分析也称为频率响应。不管是在时域上将信号分解为单位冲激信号，然后用单位冲激响应来表征系统，还是在频域上将信 号分解为复正弦信号，然后用频率响应来表征系统，所描述的问题具有等效性。Z变换在时域分析，频域分析和解差分方程三种分析方法间架起了桥梁。从信号的单位中激信号分解的 角度，可以从时域来分析；如果从信号的复正弦信号的分解角度，可以从频域来分析；当然也还可以直 接利用解差分方程的方法来分析。用Z变换的方法，一个LTI系统的特性可以用传递函数H(z)来描述(这 是因为一个LTI系统的单位冲激响应h(n
34、)就可以完全表征系统本身1Z变换，Z逆变换，系统传递函数(单位冲激响应h(n)的Z变换，h(n)的傅里叶变换叫做单位冲激频率响 应)，通过Z变换，将系统输入/输出关系由复杂的求和变成了简单的相乘。给系统的分析带来很大的方便。 Y(z)=X(z)H(z)由传递函数H(z) = Mz)/D(z)知,除了常数K之外，整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。 这里的零、极点可能是实数，纯虚数或者复数。零、极点若为虚数或者复数，则一定共辗成对出现。 将系统函数的零，极点全部标注在z平面上得到的图形，称为系统的零极图。单位圆即|z|=l.1 .从零极图看单位冲激响应(H(z)是h(n)的Z变换)系统
35、的零极图可以很直观的反映单位冲激响应h(n)的形状。当极点在单位圆内时，h(n)随着n的增加而逐步衰减；当极点在单位圆上时，h(n)为常数；当极点在单位 圆外时，h(n)随着n的增加而不断放大。注:当极点为负数时，会导致h(n)在正数和负数之间交替变换。 单位冲激响应h(n)的形状主要由极点决定。、.从零极图看系统因果性对因果系统而言，只要H确定，其极点也就确定了进而也就确定了收敛域，可以得到唯一的h(n)o.从零极图看系统稳定性只有当H(z)的收敛域包含单位圆|z |=1时，h(n)绝对可和，这时系统就是稳定的。所有极点在单位圆内， 此时h(n)绝对可和，从而系统稳定。系统频率响应复正弦信号
36、是LTI系统的特征信号(即特征向量)，其对应的特征值称为系统的频率响应，即h(n)的离散 时间傅里叶变换。频率响应H(eW)一般为复数，可用实部和虚部表示，或者用幅度和相位来表示。H(k) = Hr(I) + jHi(k)= |H(k)| 人奴幻,H(dw) = | H(ew)| e抑h(n)完全表征了 LTI系统的时域特性，Hw)完全表征了 LTI系统的领域特性。1幅频响应表征的是系统对不同频率信号选度的放大或衰减。幅频响应越大，则对应频率信号的选择性越好，此 时信号能更好的通过系统；幅频响应越小，刚好相反。幅频响应是周期性的，周期为2。一般是偶 对称的。在工程实际中，幅频响应通常以dB为单
37、位。在分析具体问题时，通常只考虑一个周期内的幅频响应， 这是因为采样定理保证了有用的信号频谱都在一个周期内。2相频响应表征的是系统对不同频率信号相位的超前或者滞后。以211为周期。T殳是奇对称。具有一个显著的特 点是具有模糊性，而且模糊的周期是2人 对于模糊造成的相频响应曲线的不连续，也可以通过数学上 称为解缠绕的方法，得到连续的相频响应曲线。相频响应：) = X(dw)Hw),这表明，从频域看来，卷积运算变为输入信号傅里叶变换和系统频率响应 的乘积。信号与系统的相互作用，在时域表现为卷积，在频域表现为乘积。对于输入信号x(n)来说，可以分解为多个复正弦信号之和，X(v)就是对应频率的系数。卷
38、积定理可以 很方便的从Z变换得到。现实中的信号都是能量有限，带宽有限的。但为了分析方便，在信号处理中也经常要用到一些能量无限 的理想信号，比如周期信号等，为此引入了功率信号的概念。2相关信号处理中，相关最基本的含义是定量的衡量两个信号的相似程度，包括自相关和互相关。1 )能量信号相关的定义rxy(m) = Zm=-co x(n)y(n - m) , rxx(m) = Sm=-oo x(n)x(n - m)可以看作是一类特殊的信号与系统的相互作用。2)功率信号相关的定义rxy(m) = lim Zm=-NX(,n)y(n - m)f 周期为 N注意，在信号处理中，相关从物理概念上可以理解为两个信号的相似程度。rMm)的绝对值越大，并不 能说明信号的相似程度越强。信号处理中用相关系数pMm)来更细致地描述信号的相似程度，可认为 是归Tt的Gy(m)。对能量信号来说，归T七因子为信号的能量；对功率信号来说，归T七因子为信号功 率。完全相似不是完全相同。相关是描述噪声(随机信号)必不可少的工具。随机信号的幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。这次测出的是这种波形，下次测 出的可能会是另夕I种波形