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1、垂直于弦的直径一教学教案第一课时 垂直于弦的直径一)教学目标：(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算 和证明；(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱. 教学重点、难点：重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力.难点：垂径定理的证明.教学学习活动设计：一实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力觉察：圆 具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、觉察和提出问题.通过“演示实验一一观察一一感性一一理性引出垂径定
2、理.二)垂径定理及证明：已知：在。中，CD是直径，AB是弦，CDAB,垂足为E.求证：AE二EB,二，二.证明：连结OA、0B,则0A=0B.又,.,CD_LAB,直线CD是等腰AOAB的对称 轴，又是。0的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点 和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合.因此，AE=BE,二，二.从而得到圆 的一条重要性质.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD 为。的直径，CDAB AE=EB,二，二.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理表达为：过圆心；垂直于弦;平分弦；平分弦所对的优弧；
3、平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出 重点，分散难点，预防学生记混.(三应用和训练例1、如图，已知在。中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的距离为3clli, 求。0的半径.分析：要求。的半径，连结0A,只要求出0A的长就可以了，因为已知条件 点0到AB的距离为3cm,所以作OEAB于E,而AE=EB= ABMcm.此时解RtAAOE 即可.解：连结0A,作OELAB于E.则 AE=EB.V AB=8cm, .AE=4cm.XV0E=3cm,在 RtAAOE 中，(cm)./. 00的半径为5 cm.说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四 条线段的长：弦长a、圆半径
4、r、弦心距d、弓形高h关系：r = h+d； r2 = d2 + (a/2)2例2、已知：如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC二BD.证明略说明：此题为根底题目，对各个层次的学生都要求独立完成.练习1：教材P78中练习1, 2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、 交流.指导学生归纳：构造垂径定理的根本图形，垂径定理和勾股定理的结合是 计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作 的辅助线一一弦心距.四)小节与反思教师组织学生进行：知识：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用.方法：（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半
5、径、弦心距等问题的方 法，构造直角三角形；（2）在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线一一弦心距; 为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得 平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.五作业教材 P84 中 11、12、13.第二课时垂直于弦的直径二）教学目标：（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；2）通过对推论的探讨，逐渐培养学生观察、比较、分析、觉察问题，概括 问题的能力.促进学生制造思维水平的开展和提高3）渗透一般到特别，特别到一般的辩证关系.教学重点、难点：重点：垂径定理的两个推论；对推论的探究方法.难点：垂径定理的推论1.学习活动设计：（一）分解定理
6、对定理的剖析）1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条 弧.2、剖析：教师指导（二）新组合，觉察新问题：1A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引 导,（包含原定理，一共有10种） （三）探究新问题，归纳新结论:1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.4）圆的两条平行线所夹的弧相等.（四）稳固练习：练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这句话对吗 为什么在推论1 11）中，为什么要附加“不是直径这一条件.）练
7、习2、按图填空：在。0中，1）假设 MN_LAB, MN 为直径，则, , ；（2）假设AC=BC,MN为直径,AB不是直径，则则,（3）假设 MN_LAB, AC=BC,贝U, , ；4）假设二，MN为直径，则, , .此题目的：稳固定理和推论五应用、反思例、四等分.A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成教材P80中的第3题图，是典型的错误作.此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作 培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的比照，加深学生对感性知 识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.（六）小结：知识：垂径定理的两个推论.能力：推论的
8、研究方法；平分弧的作图.七作业：教材P84中14题.第三课时垂径定理及推论在解题中的应用教学目的：要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类商量思想的应用 意识.通过例4赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源 于实践，又反过来效劳于实践的辩证唯物主义思想教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用教学难点：如何进行辅助线的添加教学内容：（一）复习1 .垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备以下五个条件中 的任何个，那么也具有其他三个：直线过圆心；垂直于弦；平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对
9、的劣弧.可简记为：“知2推3推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.2 .应用垂径定理及其推论计算这里不管什么层次的学生都要自主研究）涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r = h+d ；r2 = d2 + （a/2）2.常添加的辅助线：学生归纳）作弦心距；作半径.构造直角三角形3 .可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、 作图提供依据.（二）应用例题让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳例1.1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米， 求
10、桥拱的半径（精确到0.1米）.说明：对学生进行爱国主义的教育；应用题的解题思路：实际问题一一 转化，构造直角三角形）一一数学问题.例2、已知：。0的半径为5 ，弦AB/7CD , AB=6 , CD=8 .求：AB与CD 间的距离.让学生画图）解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心0的两侧过点。作EFJ_AB于E,连结OA、0C,又：ABCD, /.EFCD.作辅助线是难点，学生往往作OE_LAB, OFAB, 就得EF=OE+OF,错误的结论）由 EF 过圆心 0, EFAB, AB = 6,得 AE=3,在RtZXOEA中，由勾股定理，得 ， 同理可得：0F=3EF = OE+OF = 4+3=7.当弦AB、CD在圆心0的同侧同11）的方法可得：0E=4, 0F二3.