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1、垂直于弦的直径一、教学目标（一）知识与技能：1.充分认识圆的轴对称性;2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质, 掌握垂径定理；2,运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.（二）过程与方法：1 .让学生经历“实验一观察一猜测一验证一归纳”的研究过程，培养学生 动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；2.让每个学生动手、动口、动眼、动脑, 培养学生直觉思维能力.（三）情感态度与价值观：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培 养学生勇于探索的精神.二、教学重点、难点重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.难点：1.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分.三、教学过程
2、问题情境问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤 劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点 至弦的距离）为7. 23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保存小数点后一位）?探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 圆的对称轴分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关 于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上
3、.证明：如图，设CD是。0的任意一条直径，A为。0上点 C, D以外的任意一点,过点A作AAUCD,交。于点A，垂足 为M,连接0A, 0A在0AA，中， 0A=0A是等腰三角形又 AAJ_CD，AM=MAr即CD是AA，的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点因此。0关于直 线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道，如果。0的直径CD垂直于弦AA，垂足 为那么点A和点N是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A，重合，AM与AW重合，AC, 0分别与命，位重合.因此，AM=AM AC=ft,俞二余即直径CD平分弦
4、AA-并且平分A*, AU这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式：.* CD是。的直径，AB为弦，CDAB,垂足为E. AE=BE, AC=BC, AD=BD.进一步，我们还可以得到推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式：/ CD是。的直径，AB为。0的弦（不是直径），且AE二BECDAB, AC=BC, AD=BD.例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智 慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的 距离）为7. 23m,求
5、赵州桥主桥拱的半径（结果保存小数点后一位）？解：如图，用短表示主桥拱，设0所在圆的圆心为0,半径为R.经过圆心。作弦AB的垂线OC, D为垂足，OC与R相交于点C,连接0A.根据垂径定理，D是AB的中点，C是R的中点,CD就是拱rWj.由题设可知,AB=37m, CD=7. 23m所以，AD=-AB=1 X37=18. 5 (m), OD=OC-CD=R-7. 23 22在RtZXOAD中，由勾股定理，得0A2=AD2+0D2 即 R2=18. 52+(R-7. 23)2解得 R27.3(m)因此，赵州桥的主桥拱半径约为27. 3m练习1 .如图，在。0中，弦AB的长为8cm,圆心0到AB的距
6、离为3cm.求。的半径.解：过点。作OE_LAB,垂足为E,连接0A., AE=BE=1AB=1 X 8=4 (cm) 22在Rr/XAOE中，由勾股定理，得AE2+0E2=AO?即 42+32=A02解得A0=5cm因此，。0的半径为5cm.2 .如图，在。0中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB, OE1AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE是正方形.证明：.* ABAC, ODAB, OE1ACJ NA=N0DA=N0EA=90四边形ADOE是矩形.* ODAB, OE1AC ae二ce二，ac, ad-bd=-ab 22又 AB=ACJ AE二AD.四边形ADOE是正方形.课堂小结1 .本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗?四、教学反思教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关.在圆中求有关线段长时，可 考虑垂径定理的应用.