《3-2基本不等式（原卷版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-2基本不等式（原卷版）.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3.2基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1 .对公式。之+从-2ab及“)” 4的理解.2(1)成立的条件是不同的：前者只要求力都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a = b时取等号”.2 .由公式a2+22必和小之而可以引申出常用的常用结论22 + 22 (。力同号)； a b(D + -2 (q,/?异号)； a b自 2 rr Q + Z? / +/ 八 7 八、-e 1，+ 久2 ,.3 3) p cih J(cz0/0)或 ah () 0,/70)I a b知识点诠释：+2 2 2可以变形为：曲匚士,汉心2疝可以变形为：帅工(竺
2、与.222知识点二：基本不等式向巴也的证明2方法一：几何面积法如图，在正方形A3CD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为。、b,那么正方形的边长为必方.这样，4个直角三角形的面积 的和是2H?,正方形ABCD的面积为/+从.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以： a2+b2 22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即。=人时、正方形耳G”缩为一个点，这时有 a? + 人2 = 2ab .得到结论：如果g,/”R+,那么/+/22。人(当且仅当4 =)时取等号“=”)特别的，如果。0, b0,我们用白、血分别代替。、b,可得：如果0,0 ,那么a+人2,(当且仅当
3、= /;时取等号=).通常我们把上式写作：如果q0, b0, 而仁心，(当且仅当。=匕时取等号“=”)2方法二：代数法 /+/2=（。4之。，1 4例42. （2022青海青海.高一期末）x, y都是正数，假设x+y = 2,那么+ 一的最小值为。% y7913A. -B. -C. D. 1424h 2例43.（2022全国高一课时练习）。力为正实数且a + b = 2,那么一十 丁的最小值为（）a b3l5A. -B.+1C. -D. 322A法例44. （2022.全国.高三专题练习）。0力0,满足3/2/3从+9 = 0,那么改+学的最小值 a b是（）A. 2乖 B. 46 c. 47
4、6 0. 673（7）条件等式求最值例45. （2022山东潍坊二模）正实数，b满足“2+2 + 4/=6,那么a +2b的最大值为。A. 2也B. 26c.6D 2【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代 数式的最大值或最小值.（2）假设是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；假设是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.37例46.（2022.全国.高一课时练习）假设正实数mb满足。+人+ 2 =,那么67 4-/7-2的最小值为； - + a
5、- b-的最小值是.例47. （2022.安徽.合肥市第八中学模拟预测（文）x。，y0,满足f+2-1 =。，那么3x + 2y的最小值是（）A.叵 B. V3C. 26D. 2拒例48. （2022.山东泰安模拟预测）4/+9x2y2+2y4=i,那么5/+3V的最小值是（）A. 2B. C. D. 372题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 例49. （2022全国高一课时练习）正数1、V满足（x-2）（-1） = 2,假设不等式x + 2y加恒成立，那么实数加的取值范围是（）A. （8,+oo）B. （4,+oo）C. （一8,8）D. （-oo,4）【方法技巧与总结】利用基本不等式求解
6、恒成立问题，通常通过别离参数转化为利用基本不等式求最值4例50. （2022全国高一单元测试）%。,丁。且一 + = 1,假设+8m恒成立,那么实数机的取值 范围是（）A.B. x|x1D.卜|一911苏恒成立， 24那么实数m的取值范围.例52. （2022全国,高一课时练习）不等式（x + y）口+小16对任意正实数1, y恒成立，那么正实数。的 x y）最小值为.例53.（2022吉林油田高级中学高一开学考试）假设Dxc（O,y）,不等式x + L恒成立为真命题，那么实 x数。的取值范围是.题型六：基本不等式在实际问题中的应用例54.（2022.贵州.遵义航天高级中学高一阶段练习）某厂家
7、拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查, 该产品的年销售量（即该产品的年产量）M单位：万件）与年促销费用加（/让0）（单位：万元）满足x = 3-信 （A为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.2021年生产该产品的固定投入为8 万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均本钱的1.5 倍（产品本钱包括固定投入和再投入两局部资金，不包括促销费用）.（1）将2021年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用机的函数；该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？假设该厂家2021年的促销费用不高于2万元，那么当促销费用为
8、多少万元时，该厂家的利润最大？【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性 质等）解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值.（4）正确写出答案.例55. （2022上海市杨浦高级中学高一期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活 动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下：
9、翻修1米旧墙的费用为25元；建造1米新墙的费用为1。0元；拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.记利用旧墙的一条矩形边长为工米。（0,20）,建造活动室围墙的总费用为V元,请问如何利用旧墙，能使 得建造活动室围墙的总费用最低?并求出最低费用.例56.（2022.全国高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态” 为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化 工产品.该单位每月的处理量最少为40。吨，最多为600吨，月处理本钱y （元）与月处理量X （吨）之间 的函数关系可近似的表示为y =20
10、0X + 80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低？该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么需要国家至少补贴多少元才能使单位 不亏损？【同步练习】一、单项选择题1. （2022.湖南,株洲二中高一开学考试）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购 买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入 右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，那么顾客实际所得黄金（）A.大于10gB.小于10gC.等于10gD.以上都有可能2.
11、（2022.全国.高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷 泉综合体4与GA，该工程由矩形核心喷泉区A3CD （阴影局部）和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区 488的面积为100（）0?,绿化带的宽分别为2m和5m （如下图）.当整个工程4AGA占地面积最小时， 核心喷泉区的边的长度为（）A. 20mB. 20mC. 50mC. loVTOmD. 100m4 r（2022.全国.高一课时练习）假设x。，那么二；的最大值为（）厂+1A. 2B. 3C. 4D. 53. （2022全国高一课时练习）以下结论正确的选项是（）A.当xv2时,x + 4x 22C
12、.当工22时，x + 的最小值是2百xA.当xv2时,x + 4x 22C.当工22时，x + 的最小值是2百x/-4B.当x0时，a/x + j= 24yJXD.当。0时，的最小值为1 + 15. （2022.全国高一专题练习）假设实数、y满足f + y2 =1 +盯，那么以下结论中，正确的选项是（）A.A.B. x+y2C. x2 + y2lD. x2 + y226.（2022.陕西.长安一中高一期末）假设两个正实数MV满足 + 2 = 1,且不等式x + =0, b0,且。+ = 1,那么（）A. cr + N B. dab C. I2 2D. a + yfb /222a b（2022广
13、东梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）以下选项中正确的选项是（）A. ah0 ,那么 qcb,cd ,贝 l一c/? dC. a5-b0,那么x 的最小值是2x（2022.全国高一单元测试）以下说法正确的有（）A. =二的最小值为2 x4B.xl,贝ljy = 2x +；一1的最小值为4& + 1C.假设正数x, y为实数，假设x + 2y = 3,那么2x+y的最大值为3D.设羽y为实数，假设9/ + 丁2+移=葭那么孔+y的最大值为罕（2022广东化州市第三中学高一阶段练习）假设0vav2,且。+2 = 1,那么在。，合+从,2彷,6四个数中正 确的是（）A. tz2 4-/?2 2abB.
14、 6/ a2 + b?2三、填空题4（2022浙江余姚市实验局中高一开学考试）x。，那么2-3x-的最大值是x410. （2022上海市控江中学局一期中）当xl时，函数y = 2x + 1的最小值为;x-1a -4- 4b（2022全国高一专题练习）0M + b = l,那么一二的最小值为.ab411. （2022全国高一专题练习）假设正数x、y满足x+4y-冲=。，那么的最大值为.x+ y四、解答题12. （2022全国高一课时练习）（1）xl,求4x+l +的最小值；x-1（2）0xl,求x（4 3x）的最大值.13. （2022全国高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的
15、长度没有限制）的矩形菜 园.设菜园的长为宽为 丁m.假设菜园面积为72加2,那么x, y为何值时，可使所用篱笆总长最小？假设使用的篱笆总长度为30相，求的最小值.14. （2022新疆和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：假设cb, ba,那么c0, b0 ,且（a + b）” = l.求 + 的最小值；是否存在使得导击的值为争并说明理由.当 awb时，（tz-/?）2 0 ；当Q = b时，（4一切2=0.所以（+）22，（当且仅当 =6时取等号“=）.知识点诠释：特别的，如果q0, b0 ,我们用分别代替、，可得：如果q0, b0,那么。+2疝，（当且仅当a = h时取等号=”）.通常我
16、们把上式写作：如果40,80,疝（当且仅当Q = b时取等号=”）.2知识点三：基本不等式而（色也的几何意义2如图，AB是圆的直径，点。是AB上的一点，AC = a, BC = b,过点C作。C_L AB交圆于点。，连 接4）、 BD.易证应AACD及ADCB,那么即。=必.这个圆的半径为巴也，它大于或等于CD,即巴吆之必，其中当且仅当点C与圆心重合，即a = b22时，等号成立.知识点诠释：1 .在数学中，我们称巴也为。力的算术平均数，称疝为。力的几何平均数.因此基本不等式可叙 2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2 .如果把巴也看作是正数力的等差中项，疝看作是正数力的等比中
17、项，那么基本不等式可以叙 2述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式而小求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：L两个不等式：与审疝成立的条件是不同的前者要求小都是实数后者要求。，b都是正数.3 .两个不等式：+/72 22M与巴也之疝都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号 2这句话的含义要有正确的理解.4 .基本不等式的功能在于“和积互化;假设所证不等式可整理成
18、一边是和，另一边是积的形式，那么考虑 使用平均不等式；假设对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，那么“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各 项的“和为定值，那么“积”有最大值.5 .利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值.6 .基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用
19、题型二：利用基本不等式比拟大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值（2）常规凑配法求最值（3）消参法求最值（4）换元求最值（5） “1”的代换求最值（6） 法（7） 条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例L (2022江苏高一)给出下面三个推导过程：、b 为正实数，.2+ ? 2 2tBm =2； a b a b4XqR, q#0, .9.-+a2j-a =4； a V a Tx、yeR, xy0,(-) + (-) 2/7例3.(2022.江苏.高一专题
20、练习)以下运用基本不等式求最值，使用正确的个数是()碍0,求出的最小值；解答过程：2；2求函数 二的最小值；解答过程：可化得=病时+下之2； Vx2+4+42设xL求y=x+-i的最小值;2设xL求y=x+-i的最小值;2 解答过程：y = x +，22x 12当且仅当x=T即时等号成立，把x = 2代入2/二得最小值为4.x 1A. 0个B. 1个C.D. 3个例4.（2022.四川成都外国语学校高一阶段练习例4.（2022.四川成都外国语学校高一阶段练习（理）以下不等式一定成立的是（）.A. x2+ix(x410)B.sinxd 2(x w Z)sinxC. x2 4-1 2|x|(A：e
21、 R)D.l(xeR)Y+1)例5.（2022江苏高一专题练习）设有三个推断:例5.（2022江苏高一专题练习）设有三个推断:,1。0,., + ,22,.,1+的最小值为2；XX.X2+1之2%。=1时取等号).X2 + 1的最小值为2； (3)v4x-x2=x(4-x).X2+1之2%。=1时取等号).X2 + 1的最小值为2； (3)v4x-x2=x(4-x)3,所以卜a N 2a = 4C.C.44因为avO,所以卜a 2 2q=4D.x V因为 X, y gR , xy0 9 所以- +)= y x(a + bC. a + bN2dabD. eV + /?2 -2ab【方法技巧与总结
22、】利用基本不等式比拟大小在利用基本不等式比拟大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆 项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化 为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.例8.（多项选择题）（2022全国高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名 中，我国一运发动以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱.甲、乙、 丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为刀，心，甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）匕奔跑，另一半的时间以速度
23、匕奔跑；乙全程以速度师奔跑；丙有一半的路程以速度匕 奔跑，另一半的路程以速度匕奔跑.其中乂 0，K0.那么以下结论中一定成立的是（）A. TT2T2T39 1 1 1C. TT3=T2d. = L1例9.（多项选择题）（2022全国高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把 作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的开展影响深远.假设d b, ceR,那么以下命题正确的选项是（）A.假设那么;B.假设 aheR,那么 3a2+/22 百hC.假设ab0 , c0,那么D.假设ab ,那么 Q 2ab B一C. a + b
24、 2ab D. + /? + ： a ba b题型三：利用基本不等式证明不等式例11. （2022湖南高一课时练习）证明不等式：（1）假设。，b , c , d都是正数，求证：（4/7 + 乂: +加/）2 4加?必；（2）假设。，b , C是非负实数，那么仅2+c2） + Mc2+Q2）+ c（Q2+/）26Qbc；（3）假设“，匕是非负实数，那么。+ + 222（& +扬）； 假设CR那么三,【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）屡次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型
25、，再使用.例12. （2022全国高一课时练习）m b, c均为正实数.(1)求证：a + b + c 4ab + yfbc +.例13. （2022.全国高一单元测试）假设a0,，求证：*卜等2.题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例14. （2022全国高一课时练习）当0时,E的最大值为一例16. （2022全国高一课时练习）例16. （2022全国高一课时练习）假设实数工，满足：乂、。,3孙-工丁 1 =。，那么的最小值为（）A. 1A. 1B. 2C. 3D. 4例17. （2022全国高一课时练习）假设10,人0且2q +5b = 10,那么而的最大值为（）A. 2B. 5
26、D- 1例20.例20.（2022全国高一课时练习）假设。0、/?0,4 1且= 1 ,那么力的最小值为（）. a bA. 16A. 16B. 4cAD.4例21.例21.（2022内蒙古巴彦淖尔高一期末）假设b0,且 = 3a + 3b + 27,那么必的最小值为（）A. 9A. 9B. 16C. 49D. 81（2）常规凑配法求最值例22.A. 6B. 4C. 5D. 9例23.（2022.全国.高一专题练习）y 3,且 2x+y = 7,那么12x-l y-3的最小值为例24.（2022.湖北黄石.高一期中）假设xl,那么函数y =电的最小值为（）X 1A. 4B. 5C. 7D. 9例
27、25.（2022.全国.高一课时练习）1a 2 Z7 3的最小值是（）A. 16B. 18C. 20D. 22（2022.吉林油田高级中学高一开学考试）xl,那么x +工的最小值为（） x-1例26.A. 11B. 9C. 8D. 62 r 2（2022.四川省绵阳南山中学高一阶段练习）人 且吐= 18,那么巴上丝一1的最小值是（） a-b例27.A. 273B.273-1C. 273+1D.例28. （2022全国高一课时练习）假设Tvxvl,那么当不取最大值时、的值为。A. -3B.-23 -4- Y -4- Y（2022.全国.高一课时练习）当x0时，函数）=士匚的最小值为（）1 + x
28、D.C. -1（3）消参法求最值例29.（2022.安徽泾县中学高一阶段练习）设正实数x、V、z满足4x23xy + y2_z = 0,那么值的最大值 z为（）A. 0B. 2C. 1D. 3例30.A. 0B. -1C. -72D. -V3（2022.贵州遵义高一期末）负实数尢、y满足x+y = -2,那么“一的最小值为（） y例3LB. 3c-1D. 2V2+1（2022 全国高一课时练习）正实数m 满足那么如:的最小值是（）例32.（多项选择题）（2022全国高一单元测试）X0, y0,且x+y + 邛-3 = 0,那么（）A.冲的取值范围是1,9B.工+）的取值范围是2,3）x+4y的
29、最小值是3C. x + 2y的最小值是4及一3（4）换元求最值例33. （2022全国高三专题练习）求以下函数的最小值y =（x 0）；x、+2工 + 6（1） y =（x 1）.x-1例34. （2020上海,高一专题练习）求以下函数的最小值(1)厂+ x +1八y =(x0)x、厂+5 / 八、(2)，=(x R)；G+4(3)例35.（2022.全国高一单元测试）假设正数。，满足2。+6=1,那么 +昌的最小值是一 2-2a 2 b例36.例37.（2022.全国高一课时练习）正实数处b,满足=6,那么3 +岛的最大值为（2022全国高一专题练习）假设a, b1 ,。+力=1,求+ ； + ；的最大值.（5） “1”的代换求最值例38. （2022全国,高一）x0, y。，x+y = l,那么至+ + 的最小值为 x x y例39. （2022全国高一专题练习）假设正数。力满足。+ =刈，那么。+ 2的最小值为（）A. 6B. 472C. 3 + 2D. 2 + 2五例40. （2022.江苏.盐城市田家炳中学高一期中）假设正数，b,满足。+ 4 = 1.求的最大值；41求y + ；的最小值. + 1 b例41. （2022.吉林油田高级中学高一开学考试）尤0, y0,且x + 4y = 4.求xy的最大值；1 2（2）求一 + 一的最小值.% y