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1、专题06基本不等式i【专题导航】知识点一、基本不等式的概念1知识点二、利用基本不等式求最值1知识点三、几个重要的不等式2考向一运用基本不等式求函数的最值2考向二基本不等式中1的运用4考向三 运用消参法解决不等式问题6考向四 运用基本不等式解决含参问题7考点五：利用基本不等式证明不等式9考向六 运用基本不等式解决实际问题11队【教材内容全解】知识点一、基本不等式的概念基本不等式：芋基本不等式成立的条件：定0, b20.等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.其中审称为正数的算术平均数，症称为正数人的几何平均数.知识点二、利用基本不等式求最值已知启0, y20,则如果积孙是定值P，那么当且仅当正上
2、时，x+y有最小值是班.（简记：积定和最小）2如果和x+y是定值s,那么当且仅当鼻L时，盯有最大值是；.（简记：和定积最大）知识点三、几个重要的不等式（1）a2+b22ab（a. Z?eR）,当且仅当 Q=b 时取等号.J（6Z, bR）,当且仅当=匕时取等号.（aA （2）停孕,（a, bR）,当且仅当。=b时取等号.（4），+金2（小b同号），当且仅当。=人时取等号.共【典例剖析】考向一 运用基本不等式求函数的最值【方法技巧】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”(1)正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法(2)定：使用均值不等式求最值时，变形
3、后的一侧不能还含有核心变量.(3)等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突) 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始 范围.【典例1】(2021 辽宁葫芦岛市高三一模)设正实数小人满足a+b = l,贝1J ()A.十有最小值4B.有最大值!a bci + b2C. G + JF有最大值D. 4+有最小值:【答案】ACD【解析】根据基本不等式结合不等式的性质判断.【详解】因为且 +人=1,2所以加?竺2=-,当且仅当=人=，时等
4、号成立，即次?的最大值为上, I 2 J 4241 1 a + b 1/ 十力I = 2 4, A 正确；a b ab abab-I=ab , B车曰厌；a + b 4 fa + b = la+b + 2yah 0, y0, x + 2y = 4,则包达空上D的最小值为.孙考向二 基本不等式中1的运用【方法总结】（1）利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.（2）“1”代换 的方法可以求解“已知两正数之和为定值的问题，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求 两正数和的最值”问题，是直接求解二元函数值域的一种方法.（3）解决问题时关注对已知条件和所求
5、目标函数 式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型【典例2】已知奇函数“X）在R上单调，若正实数。/满足/（4。） + /09） = 0,则，+1的最小值是 a b（）9A. 1B. -C. 9D. 182【答案】A【解析】奇函数在R上单调,甸+ /3-9）= 0,则/（甸=-/伍-9）= /（9-/?）故 4。= 9 一即 4。+/? = 9111 （11-1 （b 4。31 仆 小，a b 9 1a b，9 1a b J 9当2=色即4=a*=3时等号成立a b 2故选：A【变式2-1若正实数x，y满足x + y = l,则上+ 4的最小值是 . x y【变式2-2】 已知a, b为
6、正数，且直线 +勿一6=0与直线2x+（。一3+5=0互相平行，则2。+3b的 最小值为27 2【变式3-3已知正实数圆匕满足。+匕=1,则女士 +艾上 的最小值为.a b考向三运用消参法解决不等式问题【例3】已知x0, y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）A. 3【答案】BB. 49C.一211 D.【解析】考察均值不等式x + 2y = 8-x（2y）28-整理得(x + 2y/ + 4(x + 2y) 32 2 0 即(x + 2y-4)(x + 2y + 8) 2 0,又 x+2 y0, /. x + 2y 4【变式3-1若正数x，y满足f +町;2 = 0,则3x+y
7、的最小值是（）A. 4B. 2a/2C. 2D. 4/2【变式3-2】已知b0,且满足则3。+人的最小值为（）A. V2B. V3C. 2V2D. 2a/33【变式3.3】若正数x，y满足x + 4y =0,则的最大值为（）x+y11 - 3*A3 - 8B.D.【变式3-4已知实数满足三4q5犬=5,则1+2），的最小值为（）5 A.35 A.310 B.10 C.D. 439考向四 运用基本不等式解决含参问题【方法总结】对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题, 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法
8、求解最值应注意以下几个方面 的问题: 拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.【例4】（已知不等式（x+y）对任意实数X、y恒成立，则实数。的最小值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】Ci9不恒成立;U y)当o时G+y）（1、I a+ U y）2y+1 =+1）/ x I aax y1【解析】，（x+y） - + = + + a + l.yJyx八 vy若W。，则上0,f恒成立，则。的取值范围是()x + 3x +1(1 1A. 一,+8B. ,+0
9、0)C. (0, +00)D. (5,+00)。O I 1【变式4-2若对任意正数工，不等式1-恒成立，则实数，的取值范围为( x +4 x一1)11A. 0，+8）B. -,+ccJ C.一,+coD. ,+oo_4JL2J2 1 ,?【变式4-3若两个正实数满足一+ = 1,且x + 2y m2 + 2力恒成立，则实数m的取值范围是()x yA. (y,-2)U4,+oc)B. (f,-4U2,+go)c.(T2)D. (-2,4)考点五：利用基本不等式证明不等式【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通
10、过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个J/ +1 J/ +1 数，“1”的代换法等.【典例5】(2021 .山西高三二模(文)证明:【答案】证明见解析.【解析】即可证得,4+12震.即可证得,4+12震.由不等式 归运令b=,则有 归巨2g1 V 2- 2 22、(1Y D例 2.已知。0, h0, a-h= 1,求证：1H 1 H 29.(八 hj【答案】见解析【解析】:。，b0, +41 ,：.1+-=1+a：.1+-=1+ac b _. 1 c a 1Y=2+一同理，1 + =2+., 1H2 + 2)3。八b),艮la=b=L时取=，.2(ba、h(1
11、)，1 HI a)(1)，1 HI a)= 5+2 - + - 25+4=9,当且仅当一二 a b J11 + - 9,当且仅当。=不时等号成立.b)24【变式5-1】求证:+ a7(a3)a-3【变式5-2】已知、b、c都是正数,求证：(a + b)(b + c)(c + a)Sabc考向六运用基本不等式解决实际问题【规律方法】.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.1 .利用基本不等式求解实际应用
12、题注意点：此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求 解.当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时 可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【典例6】（2021 陕西西安市交大附中高三其他模拟（理）已知圆锥的母线长为2 ,侧面积为S，体积为V ，V则-取得最大值时圆锥的体积为（）Sa4逝兀叵兀n 2a/2713363【答案】D【解析】设圆锥底面半径为小 高为，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得上=:用4产，结合基本不等式求S 6得 =0时取得最大值，进而求得圆锥的体积.【详解】 设圆锥底面半径为一，
13、高为力，由题意可得母线/ = 2,所以圆锥的侧面积为S = = 2小且 = J/2尸=，4产,所以圆锥的体积为V = -7irh = 不产J4六, 33当且仅当即厂=0时取等此时 V = Tir1-r2 = X yr x2x V4- 2 = 2垃7r . 333故选：D.【变式6-1】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万 元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则%的值是.【变式6-2】 2021年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平 台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位
14、精度全部达到亚米级，部分地 区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台 设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元（a、b是常数），用t表示设备使用的年数，记设备年 平均维修和消耗费用为”即丫=（设备单价+设备维修和消耗费用）+设备使用的年数.(1)求y关于珀勺函数关系式；(2)当a = 112500, b = 1000时,求这种设备的最佳更新年限.【易错警示】易错点1：忽视不等式成立的条件且b0；易错点2：忽视定值存在；易错点3：忽视等号成立的条件.易错点4：形如y = x + (0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不
15、到，再利用该函数 x的单调性求解.【易错辨析1若x0,则x+：()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为一2D.有最大值，且最大值为一24【易错辨析2若Q1,贝的最小值为.X 1【易错辨析3设0令1,则函数y=2x(l幻的最大值为.免费增值服务介绍嚼学科网 e卷组卷系统3 学科网() 致力于提供K12教育资源方服务。网校通合作校还提供学科网高端社群 出品的老师请开讲私享直播课等 增值服务。扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券3组卷网()是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能