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1、高考冲刺：怎样解解答题编稿：杨社锋 审稿：孙永钊【高考展望】1.数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容, 具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一 定的创新意识和创新能力等特点。2,解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解决 问题的能力，分值占试卷的一半左右，主要分六块：三角函数（或与平面向量交汇）、函数与 导数（或与不等式交汇）、概率与统计、解析几何（或与平面向量交汇）、立体几何、数列（或 与不等式交汇）。3.从历年高考题看，这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考 生
2、“会而得不全分”的现象大有人在。针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题 特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能到达事半功倍的效果.【方法点拨】【高清课堂：解答题的解答策略409166考情解读】1 .求解解答题的一般技巧解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山。在解答解答题时，应注 意正确运用解题技巧.（1）对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表 达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分.解题步骤一定要按教科书要 求，防止因“对而不全”失分.（2）对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中
3、分 段得分.有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略.对这些不会做的题目可以采取以下 策略：缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小 问题，先解决问题的一局部，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步.特别是那些解 题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可 以得到一半以上.跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时我们可以先成认中间结论, 往后推，看能否得到结论.假设题目有两问，第问想不出来，可把第（1）问的结论当作“已 知”，先做第（2）问，跳一步再解答.辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也
4、有次要的辅助性的步 骤.实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举.如：准确作图，把题目中的条 件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等.罗列这些小步骤都是有分的，这 些全是解题思路的重要表达，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的 策略.书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心 理上产生光环效应.阅卷老师都喜欢“锦上添花”而不喜欢“雪中送炭”。逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题 途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.2 .求解解答题的一般步骤第一步：（弄清
5、题目的条件是什么，解题目标是什么？）这是解题的开始，一定要全面审17那么当工（-8,1）时,17那么当工（-8,1）时,函数/（X）单调递减;17当 X (, +00)时,函数“X）单调递增;17又因为二 2? 17 21 =（2 ）2- -2n、,2rTu|22-|0）,其“特征点M”是抛物线的准线与x轴的交点.【总结升华】此题从特例出发，探究一般情况下的结论，解答这类问题时，可以通过 特例得到的信息，从命题提出的探究方向思考，归纳问题的结论（有时不止一个，而有些问 题的结论并不成立），再给出数学推理证明，此题由于题目的要求没有给出推理证明.举一反三：【变式1】数列为,。2，。3,3（），其
6、中为，。2，。3, 1（）是首项为L公差为1的等差数列，。20是公差为d的等差数列,。20,。21,。2230是公差为小的等差数列（dwo）（I ）假设出0 = 40 ,求d的值；（II）试写出,关于d的关系式，并求出的0的取值范围；（HI）续写数列，使生。，。3/32,%。是公差为小的等差数列，依次类推，把数列推广为无穷数列，提出同（II）类似的问题，（II）应当作为 特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【解析】（I ） I。= 10 , 2（）= 10 +1。d = 40,.*. d = 3 ；（II ）当 d （-8,0） U （。,+8），%。 7.5 + oo）；（III）所给
7、数列可推广为无穷数列%,其中q,。2M3,须是首项为L公差为1的等差数列，当一21时,数列0.吗0川吗0”+2吗0（用）是公差为小3）的等差数列，研究的结论可以是：由 %0 =。30 + 1/ = 10（1 + d + / + 33）（d W 0）,l-dn+i依次类推可得：40（用）=10（l + d + / +. + ）= 10x（dwl），10（ + l）（d = l）V.当（WO）时，%o（+i）的取值范围是：（0,+8）.视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构, 多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目
8、 的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选 择和解题步骤的设计.第二步：(探究问题与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程.)根据审题从 各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法.要注意“熟题找 差异，生题找联系”。第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程.)解题过程其实是考查学生的逻 辑推理以及运算转化等能力.评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪 步，所以卷面上讲究规范书写.第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及 考查的知识、技能、基本活动经验等.)(1)回头检验
9、一一即直接检查已经写好的解答过程, 一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，假设觉得运算挺顺利那么好，假设觉得解答别扭那么 十有八九错了，这就要认真查看演算过程.(2)特殊检验一一即取特殊情形验证，如最值问 题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合.【典型例题】类型一：规范解答过程对于会做的题，要做到不丢分，具体要求解题步骤表达准确、考虑周密、书写规范、 关键步骤清晰，防止分段扣分。例1.解关于X的不等式:以2 + 2以+1 。(。 H) .【思路分析】二次形式不等式，不一定是真的二次不等式，需要分类讨论。【解析】(1)当。=0时，不等式为10,解集为xeR；(
10、2)当 0时，需要对方程以2公+1 = 0的根的情况进行讨论: 19= 6/ 1A04矿 一40 。(一1)0即时、方程公之+2依+1 =。有两根_ 2a 土 4a a yla ci J 1)X 2 = = = 1 -2aaa那么原不等式的解为(-0),-1- JaT) U(l+T),T8).ClCl0 q 00nOalA0 4a -4a006zl即06/ 0(a0。 n V 八 = =1 4。= 00或 =1即4 = 1时，方程办2+2办+1 = 0有两相等实根为X1,1,4那么原不等式的解为(一8,-1) U(L+8).(3)当()恒成立，即时，方程水？+2区+1=0有两根Xl,2Xl,2
11、2a1a(a - l) 不 1)2a2a-1 i此时，为开口向下的抛物线，故原不等式的解集为(_ +板3 1).aa综上所述，原不等式的解集为：, 一, Ja(a -1)Ja(a -1)当。0时，解集为(一1 +上1一-1-一-)；aa当0 1 时， 解集为(一oo,1l)U(-1 ,+0)aa举一反三：X【变式1】假设对于任意x0, 。恒成立，那么a的取值范围是x2+3x + 1X【解析】6l-对一切X0恒成立，x2+3X+1Y一 在R+上的最大值.x + 3 尤 +1X + + 3 xX + + 3 x即x=l时等取号.当且仅当 x=-Q x. 1 a 2一.5【变式2解关于X的不等式：/
12、+3( + 2口(。尺).【解析】原不等式可分解因式为：(x )(x 4)0,(下面按两个根，与片的大小关系分类)(1)当 =即4 = 0或 =1时，不等式为f。或(X 1)2/,即01E1寸，不等式的解集为：X(dcj)； 综上所述，原不等式的解集为：当。=0或 =1 时，xe0 ；当Oval时，xe(a2,a)；当。 1 时，X .例2、函数/(1)=也二(6/0).X(1)讨论/(X)的单调性；(2)求/(x)在区间2。上的最小值.【解析】(1)函数/(%)的定义域为(0, +8)对/(幻=如土求导数，得/.匕生(0)XX解不等式尸(x) = .匕坐0,得OVxVeX解不等式/(x) =
13、。匕少e故7(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +8)上单调递减(2)当2aWe时，即时，由(1)知/(X)在(0, e)上单调递增，所以()min =/(a)= lna当a.Ne时，由(1)知/(x)在(e, +8)上单调递减，所以(创min=/(2)=噌当刍。6时，需比拟/()与/(2)的大小因 为 /(6Z)- f(2a) = In q - -= (2 In - In 2) = (In q - In 2)所以，假设 9。42,那么/m)W/(2a),此时(x)min =/()= In。假设 2Vae, 那么/(2a)v于(a),此时/(x)min = fQd) =1 G综上，当0a
14、2时(元月巾皿=一【总结升华】对于函数问题，定义域要首先考虑，而(2)中比拟大小时，作差应该 是非常有效的方法.举一反三：1 X【变式 1】设/(x) = czxh, (a 0)ax(1)利用函数单调性的意义，判断f(x)在(0, +8)上的单调性；(2)记f (x)在OxWl上的最小值为g(a),求y=g(a)的解析式.【解析】(1)设(KXlX20, axi x20当(KxKxzW，时，xx2 y 0 , .f (x2)-f(Xi) 0, aa即f(X2)f(x),那么f(x)在区间0, L单调递减， a当 LxKx20 , Af (x2)-f (xi) 0, aa即f(x2)f(x)，那
15、么f(x)在区间(L +8)单调递增. a(2)因为01,即 0al 时，g(a)=f (l)=a aa (0 1)综上，所求的函数尸g(a) = l时，二,OWxWa,，f(x)在0,1)单增，在(1,可上单减,2并且/(0) = 0/(。)=圣，：,0 /(x) /(I) = ,值域为0,；当TWa0时,OWxW|a|,，6)在0,上递减2从而/(I。I)/(x)/(0)即 /(%)0,Q +1值域为Cl +1(4)当 a /(I I)= 一- /(%) 0,值域为9,0. 22例3 (2016浙江高考)设函数f(x) = V +(I ) f(X)2 1 x+x2；33(II) /(%)。
16、421 _ rA1 _ rA 所以 1 _ r4【解析】(I )因为1 X + Y/=L =1 (X)1 + X上十上 1 /1由于x0, 1,有 ， + X1 + X所以 f(X)x+x2o(II)由 OWxWl 得 x3Wx,故 f(x) = / +故 f(x) = / +x + 1 +X1=3 (x-l)(2x + l) 3 3:1 W ，2 22(x + l) 2 2由(1)得/(尤注11?+字,4 419 33二一一，所以24 443综上，-/(x)-o2举一反三：7T【变式】设002兀，且方程2sin( 0 , a2=0,22。2,即册当 n2 时，an=Sn-Sn-i=ai-aF
17、O,当 n2 时，an=Sn-Sn-i=ai-aFO,徐 + %+2= = an+i，(2)qWl 时,Sn=Si qn-ai qn 1 当n=l时，a +%-Ta +%-T a2，an + %+2即+n-2n-2 / a -ai q 刊 q (q-1)a + a此时rg 一%a q 2 1) + q qn (q 1)当n2时，anSnSn-i-Hi q11 11 & + a.ql时，一 a , 20ql 时，% +；2 ?+.总结升华：等比数列前n项和公式分q=l或qWl两种情况进行讨论.举一反三：【变式一】（2015高考天津）（本小题总分值13分）数列4满足a+2 = 4册9为实数，且9。
18、1）， N*,q = I,。？ = 2 ,且？+3，3+%，%+% 成 等差数列.（I）求的值和4的通项公式；（LI）设bn = 1红包 ,neN,求数列也的前项和. a2n-解析：（1） V an+2=qan,a= ,ci2=2/. Q3=q,0=%2+Q3=2+q；Q4=qQ2=2q,3+a4=3q；Q5=qQ3=q2,Q4=a5=q2+2q 又.。2+。3、43+。4、。4=。5 成等差数列，6彳=/+34+2 即 /_3夕+2=0 解得：q=l（舍去）,q=2:q=2依题意数列如中奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列当 n=2k- 时（几 N ），斯=a2k-i = 2fc-1
19、= 2当n=2k时( EN*),即=Q卜=22八1 =2T数列斯的通项公式为斯=2 2，九为奇数 n21,九为偶数(2)由得42*2,*尸2生1log 2a2n2n- 1n2-1设数列仇的前项和为S，那么111 1Sn = 1 x + 2 x + 3 x + + n x；221222”11 111 1 1S =1 x + 2 x + 3 x + , + (n - 1) x + n x 2 n2122232两式相减得：11 1111 n 2n n 2 nS = 1 + + f + + - =- - - = 2 -2 n 2 2221 2n 2n 2n-/. Sn = 4-n 4- 22八1n +
20、 2所以数列。的前口项和为1 = 4-k，n6N【变式2】对于数列,规定数列4为数列的一阶差分数列，其中%=4+1%(N*)； 一般地，规定A%为4的k阶差分数列，其中且 kN*, k，2。513(1)数列4的通项公式q= 2 n(neN*)。试证明Aq是等差数列;2(2)假设数列的首项山=-13,且满足A?。 + =22向5wN*),求数及4的通项公式;及4的通项公式;(3)在(2)的条件下，判断册是否存在最小值；假设存在，求出其最小值，假设不存在, 说明理由。【解析】(1)依题意：59 135 n 13八区=( +1)2 (n + l)-n2 n = 5n-42222:.+ c1n- 5( +1) 4 (5 - 4) = 5 9工数列“是首项为1，公差为5的等差数列。(2) % 2 = 2，、=22一172t00521,N*)2+2n9 17(3)令/(x) = 12 一_,