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1、高考冲刺：怎样解填空题编稿：辛文升 审稿：孙永钊【高考展望】数学填空题与选择题同属客观性试题，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程 的客观性试题。它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标 集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量（计算）型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式 的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和 选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象
2、或者填写给定的数学对象的某种性质, 如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空 题。在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、 更严格，考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解 填空题时要做到：快一一运算要快，力戒小题大作；稳一一变形要稳，不可操之过急；全一一 答案要全，力避残缺不齐；活一一解题要活，不要生搬硬套；细一一审题要细，不能粗心大 后、O【方法点拨】【高清课堂：填空题的解题策略409117考情解读】在解决填空题时，时常用到以下几种方法：一：直接法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理
3、、公式等，经过变形、推理、计算、判断 得到结论的，称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题, 要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。二：特殊化法：当填空题条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特 殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理, 从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。三：数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，假设能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做 到数中思形，以形助
4、数，并通过对图形的直观分析、判断，那么往往可以简捷地得出正确的结 果。四：等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正 确的结果。五：构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题 的一种方法。六：分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。七：开放型填空题多项选择型填空题：给出假设干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论.探索型填空题；从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备 的相应条件.组合型填空题：给出假设干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.【
5、典型例题】【高清课堂：填空题的解题策略409117例1】类型一：直接法例1.定义在R上的函数f (%)满足举一反三：X2 V2【变式1】到椭圆丁 + J = 1右焦点的距离 259与到定直线x = 6距离相等的动点的轨迹方O【解析】据抛物线定义，结合图知：轨迹是以(5, 0)为顶点，焦参数P = 2且开口方 向向左的抛物线，故其方程为：【变式二】(2015上海高考)点P和。的横坐标相同，P的纵坐标是Q纵坐标的2倍, P和Q的轨迹分别为双曲线。和C2.假设G的渐近线方程为y=，那么。2的渐近线方程 为.解析：由题意得：Cl：3x2-y2 = ；l(/lw(),设Q(x,y),那么p(x,2y)所
6、以3x2 - 4y2 = 4所以C2的渐近线方程为y =%【变式3函数/( =竺我在区间(2,+00)上为增函数，那么实数a的取值范围 x + 2是 O【解析】/。)=丝我=4 +上生，由复合函数的增减性可知I,x+2x+212ag(x)=在(-2,+8)上为增函数，x + 2 1 2a v 0 , 2类型二：特殊化法例2.过抛物线y =，/( 0)的焦点f作一直线交抛物线交于p、q两点，假设线段PF、FQ的长分别为p、q,那么 + = p q【思路分析】此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q,当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、F
7、Q不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。【解析】设k=0,因抛物线焦点坐标为(o,-L),4。把直线方程y =代入抛物线方程得x , 2a.I PF=1= J，2a1 1 )从而F 二 4。p q举一反三：【变式1】在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。假设a、b、c成等差数列,rlI cosA + cosC那么=o1 + cosAcosC【解析】特殊化：令。=3/= 4,c = 5,那么AABC为直角三角形，33cosA =,cosC = 0,从而所求值为一。55【变式2】如果函数f(x)=x?+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f
8、(2-1),那么f(l),f(2),f(4)的大小关系是【解析】由于f (2+析=f (2-1),故知f (x)的对称轴是x=2。可取特殊函数 f(x) = (x-2)2,即可求得 f (1)=1, f (2)=0, f (4)=4。Af(2)f(l) a假设a=0,那么f(x)的最大值为；假设f(x)无最大值，那么实数a的取值范围是【答案】2, (, -1).【解析】如图作出函数g(x)=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(-1, 2), 0(0, 0), B(l, -2),由g(x) = 3/3,知x=l是函数g(x)的极大值点，Y3 3x Y 0由图象知当a2T时，6)有最
9、大值是汽-1)=2；只有当aVT时，由a?-3aV-2a,因此 f(x)无最大值，所求a的范围是(-8, -1),故填：2, (-8, -1).举一反三：【变式1实数x、y满足(x-3)2+/ =3,那么上的最大值是。x-【解析】 上可看作是过点P (x, y)与M (1, 0)的直线的斜率， x 1其中点P的圆(x 3)2 + y2 =3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率,最大，x-1最大值为tan。=百。类型四：等价转化法例4.函数y = J4x-1 + 2万工单调递减区间为 o【解析】易知不4,3/0.4y与y?有相同的单调区间，而丁 nJ4/+13X-3,13,可得结果为3。8【
10、总结升华】能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。 举一反三：【变式1】不等式五QX +的解集为(4, b),那么a=，b=o2【解析】设4 = /,那么原不等式可转化为：at2-t + - 0,且2与物(b4)是方程。产一/ + ： = 0的两根，由此可得： =/ = 36。 8【变式2不管k为何实数，直线y = Zx+l与曲线，+2 - 2qx+ 2a 4 = 0恒有交点，那么实数a的取值范围是 o【解析】题设条件等价于点(0, 1)在圆内或圆上，或等价于点(0, 1)到圆A-16Z3o类型五：构造法例5. 4个不同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的4个盒中，
11、那么只有1个空盒的放法共有 种（用数字作答）。【解析】符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球。因此可先 将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3 个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有=144 （种）。举一反三：【变式1】椭圆F2,点P是椭圆上动点，当NFPF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是【解析】构造圆/ +y=5,与椭圆+9【解析】构造圆/ +y=5,与椭圆+92联立求得交点【变式2】如图，点P在正方形ABCD所在的平面外， PD1ABCD, PD=AD,那么PA与BD所成角的度数为O【解析】根据题意可将此图补形成一
12、正方体，在正方体中 易求得PA与BD所成角为60。类型六：分析法例6.如右图，在直四棱柱A5c0 4gG2中，当底面四边形满足条件 时，有4。，耳2 （填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情 形）。【解析】因四棱柱a5coAgGR为直四棱柱， 故AG为4。在面4AG2上的射影，从而要使 4。，片。，只要4。与AG垂直，故底面四边形 4 AG2只要满足条件耳。1 4G即可。举一反三:【变式1】以双曲线土- V=i的左焦点尸，左准线/为相应的焦点和准线的椭圆截直 3线y =辰+ 3所得的弦恰好被%轴平分，那么k的取值范围是 o3【解析】左焦点F为（一2, 0）,左准线/： x =一今 因椭圆截直线丁 =+ 3所得的 乙弦恰好被X轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线丁 =丘+ 3与X轴的交点333(,0)，由 2 ,得 0 女 (p9，给出以下四个论断：举一反三：【变式1】如右图，在正方体中，过顶点A的一个平面，它与正方体的12条棱所成的 角都相等，这个平面可以是(写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能 的情况).【解析】正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以只需考虑与过同一顶点 的三条棱所成的角相等即可.正方体是我们较为熟悉的基本图形，连接AB】、BC、AC,那么B-ABC是正三棱锥，所以BA、BC、BB1与平面ACB1所成的角相等.