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1、高考冲刺：怎样解选择题编稿：辛文升 审稿：孙永钊【高考展望】L数学选择题在高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。考生能否迅速、准确、 全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情 绪状态.2高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合 性和深度的特点。解题的基本原那么是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果题 题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成 隐性失分，留下终生遗憾。3 .夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。准确是解答 选择题的先决条件。选
2、择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、 深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高分的 必要条件,高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成 低分的一大因素.【方法点拨】【高清课堂：选择题的解题策略409101知识要点】1 .选择题的结构特点选择题有题干和4个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。选择题的 结构中包含着我们解题的信息源（特别注意4个选择支也是条件）2 .选择题的求解策略充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不 再使用复杂的定量计算；能使用特殊值
3、判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的, 也不必采用直接解法；对于明显可以否认的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于 具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探 求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。3 .选择题的常用方法由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在 选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法:直接法；排除法；特例法；图解法（数形结合法）；代入法。【典型例题】类型一：直接法直接从题设条件出发，运用有关，运用有关的概念、定义、公理、
4、定理、性质、公式 等，使用正确的解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论，然后对照题目 中给出的选择项“对号入座”，作出相应的选择，这种方法称之为直接法。是一种基础的、 重要的、常用的方法，一般涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。【高清课堂：选择题的解题策略409101例1】 例1.假设sin2%cos2x,那么x的取值范围是（）b取 a 二一1, b 二一2 有 a2Vb2, -1, lg(a-b)=Oo 因此排除 A、B、Co，应选 D。a【解析三】排除法hVab,假设使需要增加条件b20；假设一0；假设lg(ab)0,a需增加条件abl。应排除A、B、C。应选D
5、。举一反三： 1【变式 1假设P= Jlglgb , Q= (igi + lg。)，R= 1g ，那么()2 2 yA. RPQ B. PQ R C. Q PR D. P Rbl, /. 1g 1gZ7 0 , /. (1g + 1g b) y/lgaAgb , APb/. b 4ab , /. Q = (ga + 1gb) = 1g Jab 1g + =R , /. 22 2 JPQ cos2 x,得cos? x-sin2 x0, BRcos2x0,【总结升华】直接法解选择题，它和解解答题的思路、程序方法是一致的，不同之处 在于解选择题不需要书写过程，这就给我们创造灵活解答选择题的空间，即在
6、推理严谨、计 算准确的前提下，可以简化解题的步骤，简化计算。再就是在考查问题的条件和选择项 的前提下，洞察问题的实质，找寻到最正确的解题方法，这样才会使问题解得真正的简洁、准 确、迅速。举一反三：【变式一】（2015安徽高考）函数/（x） = Asin（回（ A , co, 9均为正的常2万数）的最小正周期为不，当工= 时，函数 32万数）的最小正周期为不，当工= 时，函数 3/（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）(A) /(2)/(-2)/(0)(A) /(2)/(-2)/(0)(B) /(0)/(2)/(-2)(C) /(-2)f(O)/(2)(C) /(-2)f(O)/(2)(
7、D) /(2)/(0)0,G 0,o 0),所以 T =兀，那么co27r27r37r/(x) = Asin(2x + ),又不=0寸，2+ 夕=+ 2k/r,keZ,解得 332TTTT(p = - + 2k兀、% Z .所以 f(x) = A sin(2x + )(A0)667/TTrJiTT77令F 2k兀2x- F 2女肛k eZ解得-k7i xF 2攵肛左 Z26236令工+ 2ZV2x + 生 2令工+ 2ZV2x + 生 2re27r+ 2k7i, Z Z 解得vkn x 0)的一条对称轴 66/(2) = -2+),因为。会JT万一2 所以 = 0比% =乃一2 6TT更接近对
8、称轴x = ,所以/(0)/(2 +1)=/(2) 6JT2乃因为一2 + 2/(2)63所以/(0)/(2)/(2)应选 A.X c【变式2设R、F2为双曲线一-y2=i的两个焦点，点p在双曲线上，且满足N 4FiPF2=90 ,那么F1PF2 的面积为()A. 1 B. - C. 2 D.逐 2【解析】S、pg =-pf1-pf2 1=1 (I PF+pf2 |2)-(| pf-pf2 I)2I1 9 9 1=(2c)2 (2q)2 = X (20 16) = 1。44选Ao【变式 3】设函数 f (x)=AsinOx+(p)(其中 A0, o0, xR),那么 f (0)二0 是 f (
9、x)为奇 函数的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【解析】假设 f (0)=0,即 sin(p=0, (p=k 冗(kZ).二 f (x)=Asin a x 或 f (x)=一Asin o x,f(x)为奇函数，那么充分性成立.假设f(x)为奇函数，那么f(-x)+f (为=0恒成立,Af(0)+f(0)=0, A f (0)=0,那么必要性成立.选C.类型二：排除法从条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，对于错误的选项，逐 一剔除，从而获得正确的结论，这种方法称为排除法。排除法常常应用于条件多于一个时, 先根据一些条件，在选择项中找出与其
10、相矛盾的选项，予以排除，然后再根据另一些已 知条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止。 C2. (2015陕西高考)对二次函数/。)=办2+公+。(。为非零常数)，四位同学分 别给出以下结论，其中有且仅有一个结论是错误的，那么错误的结论是()A. 1是/(的零点B.1是/(x)的极值点C. 3是/(x)的极值D.点(2,8)在曲线丁 = /(%)上【解析】假设选项A错误时，那么选项从C、。正确./(%) = 2办+。，因为1为/(X)的极值点，3/、17 (1) = 2a + b = 0b = -2a是f(x)的极值，所以，、 即解得1)1八1)二3a
11、+ b + c = 3c = 3 + a因为（2,8）在曲线y = 力上,所以4a+ +c = 8,即4a + 2（2） + 3 + a = 8 解得：。=5, = 10, c = 8.所以x) = 5x210X+8,所以41) = 23wO,所以-1不是的零点，所以选项A错误.排除8、C、D.应选4【总结升华】排除法一般是适用于不易用直接法求解的问题。排除法的主要特点就是能 较快的限制选择的范围，从而目标更加明确，这样就可以防止小题大做，小题铸错。认真而 又全面的观察，深刻而又恰当的分析，是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注意，不然 的话就有可能将正确选项排除在外，导致错误。当题目中的条件
12、多于一个时，先根据某些条 件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否认，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内 找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择 题的常用方法，举一反三：【变式11如图是周期为2 n的三角函数y = /(x)的图象，那么/(X)可以写成()A. f(x) =sin (1+x)B. /(%) =sin(1 x)C. 7(x)=sin(x1)D. /(%) =sin(lx)【解析】选图象上的特殊点(1, 0),易排除A、B,又x=0时，y0,排除C。应选D。【变式2】钝角三角形的三边分别为a, a+1, a+2,其最大角不超过120。，那
13、么a的取 值范围是()35A. 06Z3 B. a3 C. 2a3 D. a 22【解析】令a=L,那么三边为1, 2, 3,不能构成三角形。排除A、Do令a=3,那么三边为3, 4, 5,三角形应为直角三角形，排除C,应选Bo如果该题用直接法解，设最大角为C,，2+( + 1)2_( + 2)2 cos C = ()22q(q + 1)那么 + 2,这样解起来较麻烦。a0【变式4】不等式ax2+ax+b0(a, bZ且a WO)的解集是区间(-2,1),满足这个条件的绝 对值最小的a和绝对值最小的b值分别是()A、a=l, b=-2 B、a=-l, b=2 C、a=l, b=2I)、a=-l
14、, b=-2【解析】首先，二次不等式ax2+ax+b0的解集为(-2, 1),由二次函数的图象易知，必有水0,可排除A、C.其次，将选择项D的结论，a=-l,b=-2代入不等式，那么不等式化为-x2-x-20即xW2b0)的渐近线夹角为a ,离心率为e,那么cos丝等于() 2an 211A. eB. e2C. -D.【解析】此题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。 取双曲线方程为三一M二1,易得离心率二正，cos4二之，应选C。4122 V5【总结升华】此题是采用设特殊值的方法进行检验得解的。用特例法解决问题时要注 意以下两点：(1)所选取的特殊值或特殊点一定要
15、简单，且符合题设条件；(2)有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正 确，这时应根据问题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验，以到达选择正确选项的 目的。举一反三：【变式1】函数f(x)=工ln( 3% + 2 + Jl 3十+ 4)的定义域为()xA. (,-4 U2,”) B. (-4,0) U(0, 1)C. -4,0)U(0；l D. -4,0)U(0,l)【解析】取x = l,代入天心 一3x + 2 + 一3x + 4),无意义，否认Cx取x = 2,代入一ln(Jx -3x + 2 + d-x? -3x + 4),无意义，否认 A x取x = -4
16、,代入Ln(6 -3x + 2 + J-J -3x + 4),有意义，否认 B应选D7T【变式2】如果函数y二sin2x+acos2x的图象关于直线1 =对称，那么a等于()8A. ,/2 B. -/2C. 1D. -17T【解析】找满足题意的两个特殊位置：工=0和工=时的函数值相等，4.7171故有 sin0 + 6Zcos0 = sin 2() + acos2()，解得 a二一1。44应选D。【变式3】如图，过抛物线产ax? (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长别是p、q,那么工+ ,等于()p q14A. 2a B. C. 4a D.一laa【解析】由尸a
17、x2,得f=_Ly,于是抛物线的焦点厂(O,), a4。取过F且平行于x轴的直线交于P、Q两点，根据抛物线的对称性，得PF二QF,即p=q,且2P等于抛物线的通径a5 111122yl故I = I = = = 4 oP Q P P P2a应选C。【变式4函数/(x) = Af sin(69x + Q)(30),在区间a, b上是增函数，且/(6Z)= -M ,于(b) = M ,那么函数 g(X)= COS(69X + 0)在a, b ()A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值一M7T 7T【解析】设/(x) = sinx,切=,一,那么 3=1, 6=0,TT JT从
18、而8。)=(：0$在-，上不是单调函数且最小值为0而非一1。2应选C。类型四：数形结合法数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是使抽象思维和形 象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，到达使复杂问题简单化，抽象问题具 体化，从而起到优化解题途径的目的。丫3 Ay y /7例4. (2016北京高考)设函数/(x)= 一.-2x, x a假设a=0,那么f(x)的最大值为；假设f(x)无最大值，那么实数a的取值范围是.【答案】2, (-8, -1).【解析】如图作出函数g(x)=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(T, 2), 0(0,0), B(l,
19、-2),由g%x) = 3x23,知x=l是函数g(x)的极大值点,j 3X X 0由图象知当a2T时，f(x)有最大值是f(-1)=2；只有当aV-1时，由a3-3a-2a,因此f(x)无最大值，所求a的范围是(-8, -1),故填：2, (-8, -1).【总结升华】用数形结合法解题，图示鲜明直观，形象一目了然，从而便于判定选项, 因此用其来解某些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题，利用它们所反映的函数 图象或者方程的图形以及其他相关的图形直观地表示出来，然后借助图形的直观性和有关概 念、定理、性质作出正确的判断，这是数形结合法解选择题的一般规律。举一反三:【变式1a是等差数列，a
20、i=-9, S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是()A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【解析】等差数列的前n项和Sn=-n2+(a-)n可表 22示为过原点的抛物线，又此题中ai=-90, S3=S7,可表示如图，由图可知，n二山 =5,是抛物线的对称轴，所以n=5 2是抛物线的对称轴，所以n二5时出最小，应选B。【变式2】如果实数x、y满足(x 2)2+y2=3,那么上的最大值是()A. ； B.C.与 D. 6【解析】圆(X 2尸+丫2=3的圆心为(2, 0),半径r=6,如图:设2 = %,那么k为直线y二kx的斜率，显然k的最大值在直线y二kx与圆相切时得到, 即直线0M的斜
21、率k为最大值，又|AAf|二G，|0A|=2,那么NM0A=60。，于是 Zmix = tan 60 = a/3 o应选D。【变式3】在圆/+y2=4上与直线4x+3y12二0距离最小的点的坐标是()8686、/ 86、/ 86、A. ( , - ) B. ( , ) C. ( , ) D. (一5， 一 )J JJJJ【解析】在同一直角坐标系中作出圆f +y2 =4和直线4x+3y12=0后， 由图可知距离最小的点在第一象限内，应选A.类型五：代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条).).件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例5.
22、(2016衡阳校级模拟)函数/(x)= 2-3零点所在的一个区间是(A. (-1, 0) B. (0, 1) C. (1, 2) D. (2, 3)【答案】c【解析】因为/(-D =2-30, /(0) =2-30, /(1)=2-30, 所以/ (1)/(2) l,可排除A、Co再将a二2代入函数式有y = log2(2-2x),其定义域为(一8, 1),其不满足题设条件,.D被排除。应选B。类型六：极限法例6,椭圆二十上=1的焦点为F” F2,点P为其上的动点，当NFPF2为钝角时，点P 94的横坐标的取值范围是()22A.产 x -p、1144C.产 x 产D.产 x 产V5 V5V5
23、V5【解析】先考虑极端情况：NFFF2二90。由观察可得|PFj=4, |PF21二2时,NFFF2为直角。如图,3此时可算得p点的横坐标x=忑。33又由对称性易得符合条件的P点横坐标的取值范围是-忑 X3 + xA. (0, 2)B. (0, 2)C. . (0, V6 ) D. (0, 3)【解析】不等式的“极限”即方程,那么只需验证x瓶 和3哪个为方程那么只需验证x瓶 和3哪个为方程逐一代入，得而为方程士三3 + x3 - x3 + x 2-x 2 + x2-x2 + x的根,的根即可,应选C.【变式2】在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）B. ( Ji ,B. ( Ji
24、,n/几一 2D.(n/ 八一2、A. ( n ,五)n71C. (0,)2【解析】当正n棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心时，那么底面正多边形便为极限 状态，此时棱锥相邻的侧面所成的二面角a f乃，且当棱锥高无穷大且底面相对固定不变时，或者底面无穷小而棱锥高相对固定不变时，D.D.71-271 ,nn 2正n棱锥又是另一种极限状态，此时a -n应选A.类型七：一题多解，多角度思考问题例7.假设a, b是任意实数，且ab,那么（hA. a2b2 B. 0a【解析一】直接法Vab, 0-2=1,其中与直线+y , = 0仅有一个交点的曲线是()4A.B. C. D.【解析】分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符 合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中是一个面积最大的椭圆，故可先看，显然直线22和曲线上 +二=1是相交的，因为直线上的点(、6,0)在椭圆内，对照选项应选D。94