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1、信号与系统课程讲义信号与系统课程讲义21212.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 一、微分方程的建立一、微分方程的建立1 1元件约束特性元件约束特性电电路元件路元件i)电电阻阻R：G_+iR_+i*时间域进行，不变换时间域进行，不变换*直观，物理概念清楚直观，物理概念清楚*其它变换域方法基础其它变换域方法基础*重新得到关注和重视重新得到关注和重视2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 2网网络络拓扑拓扑约约束束ii)KCL：机械系机械系统统ii)电路系统电路系统i)KVL：i)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 4电路类微分方程建立例子电路类微分方程建立例子
2、3不同性质系统可用相同微分方程描述不同性质系统可用相同微分方程描述 数学模型，数学抽象，无物理意义数学模型，数学抽象，无物理意义 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例1：求下面电路的微分方程：求下面电路的微分方程+_+_+_e(t)v1(t)uv1(t)+_v0(t)CR解解:C两端电压两端电压系统框图？系统框图？2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 5机械机械类类微分方程建立例子微分方程建立例子例例2：理想火箭推：理想火箭推动动器模型的微分方程器模型的微分方程火箭火箭m1载载荷荷m2摩擦系数摩擦系数f1摩擦系数摩擦系数f2输输入入:推推进进力力e(t)k输输出出
3、:荷荷载舱载舱速度速度 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 解：解：由由(2)可得：可得：由由(2)还还可得：可得：(4)(3)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 把把(3)和和(4)代入代入(1)可得：可得：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 6线线性性时时不不变变系系统统的微分方程特点的微分方程特点e(t)r(t)+-iL(0-)=0Lvc(0-)=0-+C若若组组成系成系统统的元件的元件线线性、参数恒定且性、参数恒定且无初始无初始储储能能，则系统为线性时不变系统则系统为线性时不变系统0-:激励加入前的时刻激励加入前的时刻一般形式：线性常系数微分方
4、程一般形式：线性常系数微分方程2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 齐齐次解次解 形式：形式：函数的线性组合函数的线性组合令令 代入上式化简得代入上式化简得特征方程特征方程有有n个根个根 :特征根特征根二、微分方程的二、微分方程的经经典典时时域求解法（域求解法（齐齐次解次解+特解法）特解法）齐次方程：齐次方程：1齐次解（自由响应）齐次解（自由响应）2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 各种特征根情况下的各种特征根情况下的齐齐次解形式次解形式为为k重特征根，与重特征根，与有关的有关的齐齐次解部分：次解部分：ii)iii)与与为为共共轭轭复根复根(一重一重)，对应齐对应齐次
5、解部分：次解部分：与与iv)为为共共轭轭复根复根(k重重)，对应齐对应齐次解部分次解部分为为：i)互不相同实根：互不相同实根：特征根决定了系特征根决定了系统统自由响自由响应应的全部函数形式的全部函数形式2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例3：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式解：解：=-1，=-2 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例3：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式解：解：=-2(二重)，=-32.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例3：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式(一重共
6、一重共轭轭)解：解：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例3：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式解：解：=0(二重二重)，(一重共一重共轭轭)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例3：求下列微分方程的齐次解形式：求下列微分方程的齐次解形式解：解：(二重共二重共轭轭)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 2特解（特解（强强迫响迫响应应）：）：由激励形式和特征根情况共同决定由激励形式和特征根情况共同决定将激励代入微分方程右端，化将激励代入微分方程右端，化简简得自由得自由项项（t0时时）根据自由根据自由项项形式与特征根情况形式与特征根情
7、况设设特解，特解，。见见特解表特解表注：注：为为 s 次多项式；次多项式；为为 次多项式次多项式；,为为 l 次多项式。次多项式。为为 次多项式；次多项式；确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数参见参见P46，表，表2-2注：注：为为 s 次多项式；次多项式；为为 次多项式次多项式；,为为 l 次多项式。次多项式。为为 次多项式；次多项式；2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例4：求下列微分方程在：求下列微分方程在不同激励不同激励下的特解下的特解i)自由自由项项=，0不是特征根，不是特征根，代入左端令代入左端令对应对应系数相等可得：系数
8、相等可得：B0=0.5,B1=-0.5,B2=0.25特征根：特征根：解：解：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解ii)自由项自由项=，t 0 时为时为0，故特解，故特解自由自由项项=，t 0 时为时为 ，-2为为1重特征根重特征根，iii)，代入左端令对应系数相等可得：，代入左端令对应系数相等可得：B=12.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 t 0 时时自由自由项项=，1不是特征根，不是特征根，代入左端令代入左端令对应对应系数相等可得：系数相等可得：B=1/3v)iv)t 0 时时自由自由项项代入左端令代入左端令对应对应系数相等可得：系数相等可得：=2.1 微分方程的
9、建立与求解微分方程的建立与求解 例例4：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解i)iii)ii)解：解：(一重共一重共轭轭)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 t0时时自由自由项项=，为为1重特征根，重特征根，=t(B1+B2代入左端令对应系数相等代入左端令对应系数相等可得：可得：B1=0,B2=0.5)，i)t0时时自由自由项项=，不是特征根，不是特征根，=(B1+B2)，代入左端令对应系数相等代入左端令对应系数相等可得：可得：ii)t0时时自由自由项项=，-1不是特征根，不是特征根，=B代入左端令代入左端令对应对应系数相等可得：系数相等可得：B=0.2ii
10、i)(一重共一重共轭轭)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例4：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解i)ii)iii)解：解：(一重共一重共轭轭)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 i)t0时时自由自由项项=，不不为为特征根，特征根，=B1+B2B1=0,B2=0.5iii)t0时时自由自由项项=，-1不是特征根，不是特征根，=Bii)t0时时自由自由项项=，为为1重特征根，重特征根，=t(B1+B2)(一重共一重共轭轭)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例4：求下列微分方程的特解：求下列微
11、分方程的特解i)ii)iii)解：解：(二重二重)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 解：解：i)t0时时自由自由项项=，-1是是2重特征根，重特征根，=Bt2ii)t0时时自由自由项项=t，-1是是2重特征根，重特征根，=t2(B1t+B2)iii)t0时时自由自由项项=，-1是是2重特征根，重特征根，=t2(B0t2+B1t+B2)(二重二重)特征根：特征根：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 将初始条件代入，可得如下方程将初始条件代入，可得如下方程组组：3完全解完全解写出完全解：写出完全解：其中其中有有n个待定系数个待定系数注意两种描述：注意两
12、种描述：起始状态起始状态0-0-，初始条件初始条件0+0+i)求解区求解区间间ii)初始条件初始条件iii)设设n个特征根个特征根互不相同，互不相同，则则待定系数由初始条件确定待定系数由初始条件确定为待求系数为待求系数激励激励t=0t=0时刻加入时刻加入0+0+状态状态2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 其中：其中：为为范德蒙矩范德蒙矩阵阵，一定可逆，故：，一定可逆，故：i)起始状起始状态态：系：系统统在加入激励前的瞬在加入激励前的瞬间间的一的一组组状状态态，即，即ii)已知已知电电路路图图，由，由求求iii)已知微分方程与激励，
13、由已知微分方程与激励，由求求冲激函数匹配法和目冲激函数匹配法和目测测法法若不给定初始条件，怎么由起始状态确定若不给定初始条件，怎么由起始状态确定的原理是：的原理是：电容电压，电感电流一般不跳变电容电压，电感电流一般不跳变的方法是：的方法是：0-0-状态状态2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例5：已知：已知电电路路图图，t=0时时刻开关刻开关S从从1打向打向2，求，求i(t)vc(t)R2=1.5C=1FL=0.25H+_+_e(t)=2V+_S 12ic(t)iL(t)R1=1i(t)e(t)=4V由特征根写出由特征根写出齐齐次解形式次解形式i)特征方程：特征方程：，ii)齐
14、齐次解形式：次解形式：由元件由元件约约束、网束、网络络拓扑拓扑约约束列写微分方程束列写微分方程解：解：2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 求完全解中的求完全解中的齐齐次解待定系数次解待定系数i)写出完全解形式：写出完全解形式：ii)求求换换路前的起始状路前的起始状态态求特解求特解i)t0时时自由自由项项=44ii)0不是特征根，不是特征根，设设特解特解为为iii)代入方程解得代入方程解得B=8/52.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 iii)求求换换路后的初始条件路后的初始条件电电感感电电流不跳流不跳变变：电电容容电压电压不跳不跳变变：iv)初始条件代入完全解，列写方
15、程初始条件代入完全解，列写方程组组求出待定系数求出待定系数 (t0)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例6：求完全响求完全响应应已知已知i)特征方程：特征方程：ii)齐齐次解形式：次解形式：解：解：由特征根写出齐次解形式由特征根写出齐次解形式特征根：特征根：i)t0时时自由自由项项=16iii)代入方程左代入方程左边边解得：解得：B=8/5求特解求特解ii)0不是特征根，设特解为：不是特征根，设特解为：求完全解中的求完全解中的齐齐次解待定系数次解待定系数i)写出完全解形式：写出完全解形式：ii)冲激函数匹配法求跳冲激函数匹配法
16、求跳变值变值：根据：根据t=0时时刻微分方程左刻微分方程左右两端的右两端的 及其各及其各阶导阶导数数应该应该平衡相等平衡相等系统用微分方程表示时，系统的系统用微分方程表示时，系统的0-状态到状态到0+状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否包含是否包含 及其高阶导数，有则跳变。及其高阶导数，有则跳变。设设代入方程左端，令左右两代入方程左端，令左右两端的奇异函数平衡，得端的奇异函数平衡，得表示表示0-到到0+相相对对跳跳变变函数函数考考虑换虑换路路时时情况，即情况，即t=0时时刻刻e(t)有有2 u(t)变变化，得化，得在在2.1 微分方程的建立与求解微分
17、方程的建立与求解 iii)计计算初始条件算初始条件iv)初始条件代入完全解，列写方程初始条件代入完全解，列写方程组组求出待定系数求出待定系数故：故：(t0)2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 例例7：右右边边，为为此此必必须须出出现现即即在在0处处有有1的跳的跳变变。假。假设设有跳有跳变变，则则有冲激，有冲激，出出现现冲激偶，左右不能平衡，故冲激偶，左右不能平衡，故没有跳没有跳变变。解：解：右右边边，为为此此必必须须出出现现即即在在0处处有有1的跳的跳变变。假。假设设有跳有跳变变，则则有冲激，有冲激，出出现现冲激偶，冲激偶，左右不能平衡，故左右不能平衡，故没有跳变。没有跳变。2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 作业：作业：2-1(a),2-51F2H+_i1(t)i2(t)1e(t)1H22-1.求电压求电压vo(t)的微分方程表达式。的微分方程表达式。2-5.给定系统的微分方程、起始状态和激励信号：给定系统的微分方程、起始状态和激励信号：判断起始点是否有跳变，分别写出判断起始点是否有跳变，分别写出r(0+)值。值。结束结束