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1、追及、相遇问题追及、相遇问题作者：易思夏亮在同始终线上的追及相遇问题在同始终线上的追及相遇问题【模型概述】【模型概述】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必定存在以下两个关系：一置。可见，相遇的物体必定存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在确定的位是相遇位置与各物体的初始位置之间存在确定的位移关系。若同地动身，相遇时位移相等为空间条件。移关系。若同地动身，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在确定的关系
2、。若物二是相遇物体的运动时间也存在确定的关系。若物体同时动身，运动时间相等；若甲比乙早动身体同时动身，运动时间相等；若甲比乙早动身tt，则运动时间关系为则运动时间关系为 。要使物体相遇就必需。要使物体相遇就必需同时满足位移关系和运动时间关系。同时满足位移关系和运动时间关系。【模型讲解【模型讲解】1.1.利用不等式求解利用不等式求解例例1 1：甲、乙两物体相距：甲、乙两物体相距s s，在同始终线上同，在同始终线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为不动。甲物体在前，初速度为v1v1，加速度大小，加速度大小为为a1a1。乙物体
3、在后，初速度为。乙物体在后，初速度为v2v2，加速度大小，加速度大小为为a2a2且知且知v1v2v1v2，但两物体始终没有相遇，求，但两物体始终没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？多少？解析：若是解析：若是 ，说明甲物体先停止运动或甲、，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度始终大于乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度始终大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为可得最近距离为若是 说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等
4、的时刻，此时两物体相距最近，依据 求得 在t时间内 甲的位移乙的位移代入表达式求得评点：本题是一个比较特殊的追及评点：本题是一个比较特殊的追及问题（减速追减速）。求解时要对各问题（减速追减速）。求解时要对各种可能的状况进行全面分析，先要建种可能的状况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在立清晰的物理图景。本题的特殊点在于奇妙地通过比较两物体运动时间的于奇妙地通过比较两物体运动时间的长短找寻两物体相距最近的临界条件。长短找寻两物体相距最近的临界条件。2.2.巧用图象法求解巧用图象法求解例例2 2：如图：如图1 1所示，声源所示，声源S S和视察者和视察者A A都沿都沿x x轴正轴正
5、方向运动，相对于地面的速率分别为方向运动，相对于地面的速率分别为和空气中声音传播的速率为，设空气相对于地面没有流淌。图图1（1 1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为 ，请依据发出的这两个声信号从声源传播到视，请依据发出的这两个声信号从声源传播到视察者的过程。确定视察者接收到这两个声信号察者的过程。确定视察者接收到这两个声信号的时间间隔的时间间隔 。（2 2）请利用（）请利用（1 1）的结果，推导此情形下视察）的结果，推导此情形下视察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。的关系式。解析：作声源解析：作声
6、源S S、视察者、视察者A A、声信号、声信号P P（P1P1为首发声信号，为首发声信号，P2P2为再发声信号）的位移为再发声信号）的位移时间图象如图时间图象如图2 2所示图线的斜所示图线的斜率即为它们的速度率即为它们的速度 则有则有两式相减可得：解得（2 2）设声源发出声波的振动周期为）设声源发出声波的振动周期为T T，这，这样，由以上结论，视察者接收到的声波振动样，由以上结论，视察者接收到的声波振动的周期为的周期为由此可得，视察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为由此可得，视察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为评点：图象分速度图象和位移图象，位移图线的斜率为速度，速度
7、图线的斜率为加速度，速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。3.3.妙取参照物求解妙取参照物求解例例3 3：火车甲正以速度：火车甲正以速度v1v1向前行驶，司机突然发向前行驶，司机突然发觉前方距甲觉前方距甲d d处有火车乙正以较小速度处有火车乙正以较小速度v2v2同向匀速同向匀速行驶，于是他马上刹车，使火车做匀减速运动而行驶，于是他马上刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速度停下。为了使两车不相撞，加速度a a应满足什么条应满足什么条件？件？解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为速为 、加速度为、加速度为a a的
8、匀减速运动。若甲的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d d。即:故不相撞的条件为:【模型要点】【模型要点】追及、相遇问题特点：探讨追及、相遇追及、相遇问题特点：探讨追及、相遇的问题，其实质就是分析探讨两物体在相的问题，其实质就是分析探讨两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。同时间内能否到达相同的空间位置问题。确定要抓住两个关系：即时间关系和位移确定要抓住两个关系：即时间关
9、系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析推距离最大、最小的临界条件，也是分析推断的切入点。断的切入点。【特殊说明】【特殊说明】1.1.匀减速运动的物体追同向匀速运动物体匀减速运动的物体追同向匀速运动物体若二者速度相等时，追逐者仍没有追上被追若二者速度相等时，追逐者仍没有追上被追逐者，则追逐者恒久追不上被追逐者，此时二逐者，则追逐者恒久追不上被追逐者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追逐者的速度者有最小距离；若二者相遇时，追逐者的速度等于被追逐者的速
10、度，则刚好追上，也是二者等于被追逐者的速度，则刚好追上，也是二者避开碰撞的临界条件；若二者相遇时，追逐者避开碰撞的临界条件；若二者相遇时，追逐者的速度仍大于被追逐者的速度，则还有一次被的速度仍大于被追逐者的速度，则还有一次被被追逐者追上追逐者的机会，其间速度相等时被追逐者追上追逐者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。二者的距离有一个最大值。2.初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体只要时间足够长，追逐者确定能追上被追逐者发生碰撞。当二者速度相等时有最大距离。若位移相等即追上（同一地点动身）。在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自发生的位
11、移确定值之和为起先时两物体间的距离时即相遇。【模型演练】【模型演练】（20052005年徐州模考）在一条平直的马路上，年徐州模考）在一条平直的马路上，乙车以乙车以10m/s10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为面作初速度为15m/s15m/s，加速度大小为，加速度大小为0.5m/s20.5m/s2的的匀减速运动，则两车初始距离匀减速运动，则两车初始距离L L满足什么条件时满足什么条件时可以使可以使（1 1）两车不相遇；）两车不相遇；（2 2）两车只相遇一次；）两车只相遇一次；（3 3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影）两车能相遇两次（设两车相遇时互
12、不影响各自的运动）。响各自的运动）。答案：设两车速度相等经验的时间为答案：设两车速度相等经验的时间为t t，则甲，则甲车恰能追及乙车时，应有车恰能追及乙车时，应有其中，解得若，则两车等速时也未追及，以后间距会渐渐增大，及两车不相遇。，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会渐渐增大。，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。若若不在同始终线上的追及相遇问题不在同始终线上的追及相遇问题【模型概述】【模型概述】不在一条直线上的相遇问题在近年高考不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也较为常见，如中也较为常见，如20002000年的上海高考中的年的上海高考中的“估算
13、出飞机速度估算出飞机速度”，20042004年广西高考年广西高考“视察者看卫星视察者看卫星”等，该类问题其实是两种等，该类问题其实是两种不在一条直线上的运动或不同运动的组合不在一条直线上的运动或不同运动的组合体，在空间上在某一时刻到达同一位置。体，在空间上在某一时刻到达同一位置。【模型讲解】【模型讲解】例例.有一个很大的湖，岸边（可视湖岸有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成小船被风刮跑，其方向与湖岸成1515角，角，速度为速度为2.5km/h2.5km/h。同时岸上一人从停放点起。同时岸上一人从停
14、放点起追逐小船，已知他在岸上跑的速度为追逐小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h4.0km/h，在水中游的速度为，在水中游的速度为2.0km/h2.0km/h，问，问此人能否追及小船？此人能否追及小船？解析：费马原理指出：光总是沿着光程为微小解析：费马原理指出：光总是沿着光程为微小值的路径传播。据此就将一个运动问题通过类比值的路径传播。据此就将一个运动问题通过类比法可转化为光的折射问题。法可转化为光的折射问题。如图所示，船沿如图所示，船沿OPOP方向被刮跑，设人从方向被刮跑，设人从O O点动点动身先沿湖岸跑，在身先沿湖岸跑，在A A点入水游到点入水游到OPOP方向的方向的B B点，假点，假
15、如符合光的折射定律，则所用时间最短。如符合光的折射定律，则所用时间最短。依据折射定律：解得在这最短时间内，若船还未到达在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，点，则人能追上小船，若船已经通过了若船已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速依据正弦定理又由以上两式可解得：此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。【特殊说明】【特殊说明】圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方向追击的物体转过的角度向追击的物体转过的角度 时表明两物体相遇或相距最近；反方向转时表明两物体相遇或相距最近；反方向转动的物体转过的角度动的物体转过的角度 （n=0n=0、1 1、2 2、）时表明两物体相遇或相距最近。不同）时表明两物体相遇或相距最近。不同一圆、同方向追击的物体转过的角度一圆、同方向追击的物体转过的角度 （n=0n=0、1 1、2 2、）时表明两物体相距最）时表明两物体相距最近。近。