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1、.可编辑 中学数学三角形中常见的辅助线问题 1 前言 1.1 研究背景 1从 1952 年教育部颁布第一部中学数学教学大纲（草案)将三角形的教学内容分散安排在初一、初二和初三年级，中学数学大纲进行了多次修改，而三角形的教学内容也进行了多次调整。2以 2000 年颁布的过渡性九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）为标志，我国新一轮基础教育课程改革全面启动。2001 年教育部颁布了现行的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中要求培养和增大合情推理能力，所以对初中平面几何图形尤其是三角形中的辅助线应该引起重视。1.2 研究目的 在平面几何三角形的学习过程中，有部分三角形问题看上去很容易
2、解决，但在实际的动手的操作的过程中给人一种“山重水复疑无路”的感觉.然而，如何能够“柳暗花明又一村”，使得解题的思路明确，过程简捷？辅助线对问题的解决起着非常重要的作用，是否能添加正确的辅助线是能否解决问题的关键.本文基于前人对本论题的研究成果，针对如何正确、快捷地添加辅助线，以达到化繁为简的目的。结合历年中考考试题目总结归纳出常用的六类常用辅助线的方法，并对这些方法进行进一步的分析，体会蕴涵在三角形中的常见辅助线的思想方法，并能举一反三，创造性地运用所学知识。1.3 研究意义 （1）理论意义：进行初中数学三角形的有关辅助线问题的研究，会在一定程度上丰富三角形的教学理论。（2）实践意义：本研究
3、在丰富的理论支持下，深入三角形的课堂教学研究提出具有实践意义的教学建议，可帮助教师选择正确教学模式，丰富课堂内容，提高课堂教学效率。2.三角形中的辅助线 2.1 倍角化等腰 .可编辑 3当三角形中出现一个角是另一个角的 2 倍时，经常通过转化倍角寻找到等腰三角形。如图 1 中，若ABC2C，如果作 BD 平分ABC，则DBC 是等腰三角形，并且ABD 与CAB 相似。如图 2 中，若ABC2C，如果延长线 CB 到 D，使 BDBA，连结 AD，则ADC 是等腰三角形，并且ABD 与CAD 相似。如图 3 中，若B2ACB，如果以 C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作ACDACB，交 B
4、A 的延长线于点 D，则DBC 是等腰三角。例 1.如图 4，ABC 中，ACB2B，BC2AC.求证：A90.分析：由于条件中ACB2B，可利用图 1 所做辅助线方 式，所以作 CD 平分ACB交 AB 于 D，过 D 作DE BC于 E，则 由 ACBB2，知 BBCD，即DBC是等腰三角形。而DE BC，由等腰三角形三线合一可得，BCCE 2，又 BC2AC,所以 ACEC。易证得ACDECD，所以 ADEC90。评析：此题属于较简单的题，对于一般基础的学生还是比较容易入手，那么对于难度系数稍微高一点的题如例 2。例 2.（2009 年全国初中数学联赛)在ABC 中，最大角A 是最小角C
5、 的 2倍，且 AB=7，AC=8。则 BC=_ 解法一：分割法(图 1 辅助线方法）如图 5，作CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D。ABCDBA，787yxxy 10515710515849)(78yxyxyyx，解得 105 yx 评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出 BC 的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。B C D A B C D A B C D A 图 5 图 2 图 3 图 4 图 1.可编辑 4解法二：构造法（图 2 辅助线方法）如图 6，延长 CA 至点 D，使 AD=AB。则D=ABD=21CAB
6、=C，CBDDAB，BDCDABBDBD2=ABCD=7（8+7）=105，BD=105，又C=D，BC=BD=105 评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。解法三：综合法 如图 7，作CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D。作 BEAD。ADCBAE，87yxx，ADCEBC，878 yxx，157yxyx，（x+y）2=715，105 yx。评析：由ADCBAE，BEAD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。2.2 角平分线问题 5角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点
7、到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。2.2.1 角平分线到两端的距离相等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 3.如图 8，已知ABC 中，AC=BC，ACB=90，BD 平分ABC，求证：AB=BC+CD 分析：题目中有角平分线和垂直，故想到过点 D 作 DEAB 图 6 图 7.可编辑 于点 E，由
8、角平分线的性质可知，CD=DE，由全等三角形的判定 定理可得BCDBED，可得出 BC=BE，再根据ABC 是等腰直 角三角形可知A=45，故ADE 是等腰直角三角形，所以 DE=AE，再通过等量代换，所以 AB=BE+AE=BC+CD 评析：此题难度系数不大，也可以才用后面所用的截长补短法来证明，证明过程也比较简单一般的学生都基本上能够解决。例 4.如图 9，ABC 中，ABAC，DF 垂直平分 BC 交BAC 的外角平分线AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，连接 BD，CD求证：DBE=DCA。分析：要证明的结论是两个角的角度相等，而图形中两个 角不在同一个三角形中，所以想到证明
9、两个三角形全等。从已 知条件中有外角平分线，且 DEAB，入手，想到角平分线到 两边的距离相等，故过 D 作 DGAC，根据线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等可得 BD=CD，根据角平分线上 的点到角的两边的距离相等可得 DE=DG，然后利用“HL”证明 RtDBE 和 RtDCG 全等，根据全等三角形对应角相等可得DBE=DCA。评析：此题有一定难度系数，主要是学生不知道从哪里入手，而此题从外角平分线入手，与常规的内角平分线有所不同，基础较好学生能独立完成。2.2.2 利用角平分线构造对称图形 作法是在角平分线的一侧的长边上截取短边构造出对称图形，再利用两个三角形全等的性质将角或边
10、转化。6例 5.如图 10，已知ABC 中，AB=AC，A=100，BD 平分ABC，求证：BC=BD+AD。分析：结论要证明边的和差关系，首先想到截长补短法，有一定难度，已知条件中告诉了A=100，从角平分线入手，算出所有角度大小，在 BC 上截取 BE=BA，延长 BD 到 F 使 BF=BC，连接 DE、CF，由 BD 平分ABC，1=2 进而得ABDEBD，DEB=A=100 则得DEC=80又2=20 所以F=80 因为4=3=40，所以DCEDCF（AAS），所以 DF=DE=AD，BC=BF=BD+DF=BD+AD。评析：此题难度系数比较大，大多数学生会从结论出发，用截长补短法证
11、明，此种方法不能充分利用 BD 是角平分线这一关键已知条件。2.2.3 角平分线+垂线 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利 图 8 图 9 图 10 .可编辑 用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。7例 6.如图 11，已知ABC，BAC=90，AB=AC，CD 垂直于ABC 角平分线 BD 于 D，AC，BD 交于 E AF 为 BC 中线，交 BE 于 G，求证：BE=2CD。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角
12、平分线的垂 线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角 形，延长 CD 与 BA 延长线交于 HBD 为角平分线构建全 等三角形ABEACH（ASA），然后由全等三角形的对应 边相等的性质、等腰三角形的“三合一”的性质可证得 CH=2CD，所以 BE=2CD。评析：题中如果有角平分线和垂线，可联想到等腰三角形“三线合一”，再利用其基本性质解决要证明的问题。2.2.4 角平分线+平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。例 7.如图 12，在ABC 中，AB=AC，
13、在 AC 上取一点 P，过 P 点作 EFBC，交 BA 的延长线于点 E，垂足为点 F证明：AE=AP 分析：由已知条件知ABC 为等腰三角形，且EF BC，所 以想到角平分线+平行线，则可以作 AD 平分BAC，由等腰 三角形三线合一性质，此时AD BC，故 AD/EF。故可知 AEP是等腰三角形，所以 AEAP。8例 8.如图 13，BD 平分ABC 交 AC 于 D，点 E 为 CD 上一点，且 AD=DE，EFBC 交 BD 于 F求证：AB=EF 分析：已知条件中有角平分线和平行线，而要证明的时线 段相等,想到角平分线+平行线构造出等腰三角形。作 AMEF 交 BD 的延长线于 M
14、，所以ABM 为等腰三角形 AM=AB，再证ADMEDF，推出 EF=AM，得到 AB=EF。评析：此题中的关键是利用 BD 平分ABC，做平行线构造等腰三角形，将AB 转化成 AM。2.3 中点问题 图 11 图 12 图 13.可编辑 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。2.3.1 倍长中线法 9当出现线段中点或三角形中线时，常常延长中线构造全等三角形。倍长中线法又可分为直接倍长法和间接倍长法。ABC 中 方式 1：直接倍长 延长
15、 AD 到 E，AD 是 BC 边中线 使 DE=AD，连接BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于 F，延长 MD 到N，作 BEAD 的延长线于 E 使DN=MD，连接 BE 连接 CN 例 9.如图 14，ABC 中，D 为 BC 的中点求证：AB+AC2AD 分析：从已知条件中 D 为 BC 中点入手，想到倍长中线，延长 AD 至 E 使 DE=AD，连接 BE，构造ADCEDB，得 AC=BE，再根 据三角形的三边关系可得 AB+ACAE 即 AB+AC2AD 得证。评析：此题属于倍长中线法的简单应用，但也曾出现在初中数学竞赛中。2.3.2 中位线法 DABC EDABC图 14
16、NDCBAMFEDCBA.可编辑 中位线既有线段的等量关系，又有平行性，而平行线又可以产生等角关系，更重要的是，在涉及中点的题目中，中位线常起过渡和转化的作用.那么我们可以加以利用中位线的相关性质加以添加辅助线解题。例 10.（2013 年数学联赛四川省初二初赛）如图 15，已知四边形 ABCD 中，AB=DC，E、F 分别为 AD 与 BC 的中点，连结 EF 与 BA 的延长线相交于 N，与CD 的延长线相交于 M求证：BNF=CMF。分析：由已知条件可知，E、F 分别为 AD 与 BC 的中点，想 到中位线定理，连接 AC，取 AC 的中点 K，连结 EK，FK，则 EK、FK 分别是A
17、CD 和ABC 的中位线，得到 CD=2EK，AB=2FK,根据 AB=DC 得到FEK=EFK，根据平行线性质可得:FEK=CMF，EFK=BNF，BNF=CMF。2.3.3 直角三角形斜边的中线 10直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半。例 16.如图 23，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，G 是 CE 的中点，DGCE，G 为垂足，证明：DC=BE。分析：要证明 DC=BE，而这两条线段又没有在同一个三 角形中，不能直接入手，由已知条件ABD 为直角三角形且 E 为斜边中点，所以想到连接 DE，G 是 CE 的中点，DG CEDG 是 CE 的垂直平分线，DE=DC，AD 是高，C
18、E 是中线，DE 是 RtADB 的斜边 AB 上的中线，DE=BE=AB，DC=BE。2.线段和差倍问题 2.1 截长法 11截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条（此种方法在中学最常见）。例 11.如图 16，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，B+D=180，求证：AE=AD+BE。分析：采用截长法：首先在 AE 上截取 AM=AD，连接 CM，再 证明AMCADC，可得3=D，再根据B+D=180，3+4=180，可以证出4=B，根据等角对等边可证出 CM=BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底 边上的中线重合可
19、得到 MEBE，再利用等量代换可证出 AE=AD+BE。2.2 补短法 图 15 图 16 图 23 .可编辑 12补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。例 12.如图 17，在四边形 ABCD 中，ABCD，点 E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F求证：AB=AF+CF。分析：延长 AE、DF 交于点 M，不难证明ABEMCE，那么 AB=CF，现在只要将 AF 也关联到三角形 BEC 中，我们发 现，BAE=EAF，BAE=M（ABCD），那么三角形 AMF 就是个等腰三角形，AF=MF，因此 AB=MC=MF+
20、FC=AF+FC。评析：在三角形中遇到求证线段间和，差，倍数关系时,一般方法是截长或补短法，在同一道题中一般两种方法都可以用。例 13：如图 18：在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任一点。求证：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN,在APN和APC 中，ANAC，12，APAP，所以APNAPC（SAS）所以 PCPN（全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN（三角形两边之差小于第三边）所以：BPPCABAC。证明：（补短法）延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP中，ABAM，12，APAP，所以ABPAM
21、P（SAS）有 PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)，所以：ABACPBPC。2.线段比例问题 2.平行法 此种类型的题从已知题目中不能直接得出结论，通过添加平行线，通过平行线的性质再进行转换形成全等或相似三角形，进而解决问题，如以下两题。13例 15.如图 19，ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 E，在 AC 的延长线上取一点 F，使 CF=BE，连接 EF，交 BC 于点 D，求证：DE=DF。分析：因为 DE、DF 所在的两个三角形DEB 与DFC 不可能全等，又知 EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：
22、过 E 作 EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角 形的性质，使问题得以解决。证明：作 EGAC 交 BC 于 G，BGE=ACB，GED=F，EGD=FCDAB=AC，B=ACB，B=BGE，BE=EG CF=BE，CF=GE在GED 和CFD 中，GED=F，GE=CF 图 17 图19 ABCDNMP12图 18.可编辑 EGD=FCD，GEDCFD（ASA），DE=DF。评析：当对某些三角形的图形无从下手时，不妨大胆加以猜想，根据某些交点，过该交点作等腰三角形的腰或底边的平行线，再加以利用等腰三角形以及添加的平行线的性质来解题。此题的辅助线还可以有以下几种作法，学生的选择
23、比较多，但他们的本质都是相同的。2.2 平行线分线段成比例 14辅助线一般作在“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。例 16.如图 22，在ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE=AB，连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BC：CD 为多少？分析：过 M 作 MFBD，如图所示：M 是 AC 边的中 点，FM 为ABC 的中位线，即 FM=BC，F 为 AB 的中点，AE=AB，EF=EB，MFBC，EFMEBD 其相似比为 1：3，即 FM=BD，FM=BC，CD=BC，即 BC：CD=2：1。3.结论与建议
24、 数学是锻炼思维的体操，发现问题、探索思路，都是这种体操锻炼的重要内容，而发现探索都离不开巧妙的联想。三角形是所有图形中最基本的图形，所以我们需要透彻的了解到它的基本性质，然而，如何灵活运用这些性质却是一个难点.解题之难，也就在于没有一个普遍而又行之有效的办法，去打破这无从下手的窘况.虽在本文中有总结出来一些添加辅助线来解决三角形中的一些问题，可总结过后也难免会感觉有一些局限性.所以，处于山重水复疑无路的时候，不妨图 20 图 21 图 22.可编辑 跳出原来局限的范围，联想到与之相似或者近似的问题，并着力去发掘它们内在的联系。由此及彼，已收“他山之石，可以攻玉”的效果。15三角形中常见辅助线歌诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。