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1、 中学数学三角形中常见协助线问题1 前言1.1 探讨背景1从1952年教化部公布第一部中学数学教学大纲草案)将三角形教学内容分散支配在初一、初二和初三年级，中学数学大纲进展了屡次修改，而三角形教学内容也进展了屡次调整。2以2000年公布过渡性九年义务教化全日制初级中学数学教学大纲试用修订版为标记，我国新一轮根底教化课程改革全面启动。2001年教化部公布了现行全日制义务教化数学课程标准试验稿中要求培育和增大合情推理实力，所以对初中平面几何图形尤其是三角形中协助线应当引起重视。1.2 探讨目在平面几何三角形学习过程中，有部分三角形问题看上去很简洁解决，但在实际动手操作过程中给人一种“山重水复疑无路
2、感觉.然而，如何可以“柳暗花明又一村，使得解题思路明确，过程简捷？协助线对问题解决起着特别重要作用，是否能添加正确协助线是能否解决问题关键.本文基于前人对本论题探讨成果，针对如何正确、快捷地添加协助线，以到达化繁为简目。结合历年中考考试题目总结归纳出常用六类常用协助线方法，并对这些方法进展进一步分析，体会蕴涵在三角形中常见协助线思想方法，并能举一反三，创建性地运用所学学问。1.3 探讨意义 1理论意义：进展初中数学三角形有关协助线问题探讨，会在肯定程度上丰富三角形教学理论。 2理论意义：本探讨在丰富理论支持下，深化三角形课堂教学探讨提出具有理论意义教学建议，可扶植老师选择正确教学形式，丰富课堂
3、内容，进步课堂教学效率。2.1 倍角化等腰 3当三角形中出现一个角是另一个角2倍时，常常通过转化倍角找寻到等腰三角形。 如图1中，假设ABC2C，假如作BD平分ABC，那么DBC是等腰三角形，并且ABD与CAB相像。 如图2中，假设ABC2C，假如延长线CB到D，使BDBA，连结AD，那么ADC是等腰三角形，并且ABD与CAD相像。BCDABCDABCDA 如图3中，假设B2ACB，假如以C为角顶点，CA为角一边，在形外作ACDACB，交BA延长线于点D，那么DBC是等腰三角。图3图2图1 例1.如图4，ABC中，ACB2B，BC2AC.求证：A90. 图4分析：由于条件中ACB2B，可利用图
4、1所做协助线方式，所以作CD平分交AB于D，过D作于E，那么由，知，即是等腰三角形。图4而，由等腰三角形三线合一可得，又BC2AC,所以ACEC。易证得，所以。评析：此题属于较简洁题，对于一般根底学生还是比较简洁入手，那么对于难度系数略微高一点题如例2。 例2.2021年全国初中数学联赛)在ABC中，最大角A是最小角C2倍，且AB=7，AC=8。那么BC=_ 解法一：分割法(图1协助线方法 如图5，作CAB平分线AD交BC于D。ABCDBA， 图5 评析：解法一思路是常规思路，平分倍角构造相像三角形，通过相像比得到方程组求出线段长，进而求出BC长。但这种方法中，二元二次方程组计算较为困难。 4
5、解法二：构造法图2协助线方法如图6，延长CA至点D，使AD=AB。那么D=ABD=CAB 图6=C，CBDDAB，BD2=ABCD=78+7=105，BD=，又C=D，BC=BD= 评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见作协助线技巧。BD为相像三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简洁。 解法三：综合法 如图7，作CAB平分线AD交BC于D。作BEAD。ADCBAE， ADCEBC， 图7，x+y2=715，。 评析：由ADCBAE，BEAD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映本质是一样。2.2 角平分线问题5角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上点到角两边间隔
6、相等。对于有角平分线协助线作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形如作法是在一侧长边上截取短边。通常状况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它状况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和条件。角平分线到两端间隔 相等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上点到两边间隔 相等性质来证明问题。例3.如图8，ABC中，AC=BC，ACB=90，BD平分ABC，求证：AB=BC+CD 分析：题目中有角平分线和垂直，故想到过点D作DEAB于点E，由角平分线性质可知，CD=DE，由全等三角形断定定理可得BCDBED，可得出BC=BE，再依
7、据ABC是等腰直 图8角三角形可知A=45，故ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，再通过等量代换，所以AB=BE+AE=BC+CD 评析：此题难度系数不大，也可以才用后面所用截长补短法来证明，证明过程也比较简洁一般学生都根本上可以解决。 例4.如图9，ABC中，ABAC，DF垂直平分BC交BAC外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB 于E，连接BD，CD求证：DBE=DCA。分析：要证明结论是两个角角度相等，而图形中两个角不在同一个三角形中，所以想到证明两个三角形全等。从已知条件中有外角平分线，且DEAB，入手，想到角平分线到两边间隔 相等，故过D作DGAC，依据线段垂直平分线上 图9点
8、到线段两端点间隔 相等可得BD=CD，依据角平分线上点到角两边间隔 相等可得DE=DG，然后利用“HL证明RtDBE和RtDCG全等，依据全等三角形对应角相等可得DBE=DCA。 评析：此题有肯定难度系数，主要是学生不知道从哪里入手，而此题从外角平分线入手，与常规内角平分线有所不同，根底较好学生能独立完成。角平分线构造对称图形 作法是在角平分线一侧长边上截取短边构造出对称图形，再利用两个三角形全等性质将角或边转化。 6例5.如图10，ABC中，AB=AC，A=100，BD平分ABC，求证：BC=BD+AD。分析：结论要证明边和差关系，首先想到截长补短法，有肯定难度，条件中告知了A=100，从角
9、平分线入手，算出全部角度大小，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF，由 图10BD平分ABC，1=2进而得ABDEBD，DEB=A=100那么得DEC=80又2=20所以F=80因为4=3=40，所以DCEDCFAAS，所以DF=DE=AD，BC=BF=BD+DF=BD+AD。 评析：此题难度系数比较大，大多数学生会从结论动身，用截长补短法证明，此种方法不能充分利用BD是角平分线这一关键条件。角平分线+垂线从角一边上一点作角平分线垂线，使之与角两边相交，那么截得一个等腰三角形，垂足为底边上中点，该角平分线又成为底边上中线和高，以利用中位线性质与等腰三角形三线合一性质
10、。假如题目中有垂直于角平分线线段，那么延长该线段与角另一边相交。 7例6.如图11，ABC，BAC=90，AB=AC，CD垂直于ABC角平分线BD于D，AC，BD交于EAF为BC中线，交BE于G，求证：BE=2CD。 分析：给出了角平分线给出了边上一点作角平分线垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形，延长CD与BA延长线交于HBD为角平分线构建全 图11等三角形ABEACHASA，然后由全等三角形对应边相等性质、等腰三角形“三合一性质可证得CH=2CD，所以BE=2CD。 评析：题中假如有角平分线和垂线，可联想到等腰三角形“三线合一，再利用其根本性质解决要证明问题。角平分线+平
11、行线有角平分线时，常过角平分线上一点作角一边平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上点作角平分线平行线与另外一边反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。 例7.如图12，在ABC中，AB=AC，在AC上取一点P，过P点作EFBC，交BA延长线于点E，垂足为点F证明：AE=AP 分析：由条件知ABC为等腰三角形，且，所以想到角平分线+平行线，那么可以作AD平分，由等腰 图12三角形三线合一性质，此时，故AD/EF。故可知是等腰三角形，所以AEAP。 8例8.如图13，BD平分ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EFBC交BD于F求证：AB=EF分析：条件中有角平分线和平行线，而要证明
12、时线段相等,想到角平分线+平行线构造出等腰三角形。作AMEF 图13交BD延长线于M，所以ABM为等腰三角形AM=AB，再证ADMEDF，推出EF=AM，得到AB=EF。 评析：此题中关键是利用BD平分ABC，做平行线构造等腰三角形，将AB转化成AM。2.3 中点问题 在三角形中，假如一点是三角形某一边上中点，那么首先应当联想到三角形中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质，然后通过探究，找到解决问题方法。 9当出现线段中点或三角形中线时，常常延长中线构造全等三角形。倍长中线法又可分为干脆倍长法和间接倍长法。 ABC中 方式1：干脆倍长 延长AD到E
13、， AD是BC边中线 使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN 例9.如图14，ABC中，D为BC中点求证：AB+AC2AD 分析：从条件中D为BC中点入手，想到倍长中线，延长图14AD至E使DE=AD，连接BE，构造ADCEDB，得AC=BE，再根据三角形三边关系可得AB+ACAE即AB+AC2AD得证。 评析：此题属于倍长中线法简洁应用，但也曾出如今初中数学竞赛中。 以利用中位线相关性质加以添加协助线解题。 例10.2021年数学联赛四川省初二初赛如图15，四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为A
14、D与BC中点，连结EF与BA延长线相交于N，与CD延长线相交于M求证：BNF=CMF。 分析：由条件可知，E、F分别为AD与BC中点，想到中位线定理，连接AC，取AC中点K，连结EK，FK，那么EK、FK分别是ACD和ABC中位线，得到CD=2EK，AB=2FK,依据AB=DC得到FEK=EFK，依据平行线性质可得: 图15FEK=CMF，EFK=BNF，BNF=CMF。 10直角三角形斜边中线等于斜边一半。 例16.如图23，ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE中点，DGCE，G为垂足，证明：DC=BE。分析：要证明DC=BE，而这两条线段又没有在同一个三角形中，不能干脆入手，由条件AB
15、D为直角三角形且E为斜边中点，所以想到连接DE，G是CE中点，DG 图23CEDG是CE垂直平分线，DE=DC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB斜边AB上中线，DE=BE=AB，DC=BE。2. 线段和差倍问题 11截长:在长线段中截取一段等于另两条中一条,然后证明剩下部分等于另一条此种方法在中学最常见。 例11.如图16，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，B+D=180，求证：AE=AD+BE。分析：采纳截长法：首先在AE上截取AM=AD，连接CM，再证明AMCADC，可得3=D，再依据B+D=180，3+4=180，可以证出4=B，依据等角对等边可证出图16CM=BC
16、，再依据等腰三角形性质：等腰三角形底边上高线与底边上中线重合可得到MEBE，再利用等量代换可证出AE=AD+BE。 12补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。例12.如图17，在四边形ABCD中，ABCD，点E为BC边中点，BAE=EAF，AF与DC延长线相交于点F求证：AB=AF+CF。 分析：延长AE、DF交于点M，不难证明ABEMCE，那么AB=CF，如今只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发图17现，BAE=EAF，BAE=MABCD，那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC。 评析：在三角形中遇到求证
17、线段间和，差，倍数关系时,一般方法是截长或补短法，在同一道题中一般两种方法都可以用。 例13：如图18：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。证明：截长法在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中，ANAC，12，APAP，所以APNAPC SAS所以PCPN 全等三角形对应边相等在BPN中，有 PBPNBN 三角形两边之差小于第三边所以：BPPCABAC。图18 证明：补短法延长AC至M，使AMAB，连接PM，在ABP和AMP中，ABAM，12，APAP，所以ABPAMP SAS有PBPM 全等三角形对应边相等又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边
18、之差小于第三边) ，所以：ABACPBPC。2. 线段比例问题 此种类型题从题目中不能干脆得出结论，通过添加平行线，通过平行线性质再进展转换形成全等或相像三角形，进而解决问题，如以下两题。 13例15.如图19，ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使CF=BE，连接EF，交BC于点D，求证：DE=DF。 分析：因为DE、DF所在两个三角形DEB与DFC不行能全等，又知EB=CF，所以需通过添加协助线进展相等线段等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形性质，使问题得以解决。 证明：作EGAC交BC于G，BGE=ACB，GED=F， 图19
19、EGD=FCDAB=AC，B=ACB，B=BGE，BE=EGCF=BE，CF=GE在GED和CFD中，GED=F，GE=CFEGD=FCD，GEDCFDASA，DE=DF。 评析：当对某些三角形图形无从下手时，不妨大胆加以揣测，依据某些交点，过该交点作等腰三角形腰或底边平行线，再加以利用等腰三角形以及添加平行线性质来解题。此题协助线还可以有以下几种作法，学生选择比较多，但他们本质都是一样。图20图21 2. 14协助线一般作在“条件中出现两条线段交点处,且所作协助线与结论中出现线段平行。 例16.如图22，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连接EM并延长，交BC延长线于
20、D，此时BC：CD为多少？分析：过M作MFBD，如下图：M是AC边中点，FM为ABC中位线，即FM=BC，F为AB中点，AE=AB，EF=EB，MFBC，EFMEBD图22其相像比为1：3，即FM=BD，FM=BC，CD=BC，即BC：CD=2：1。数学是熬炼思维体操，发觉问题、探究思路，都是这种体操熬炼重要内容，而发觉探究都离不开奇妙联想。三角形是全部图形中最根本图形，所以我们须要透彻理解到它根本性质，然而，如何敏捷运用这些性质却是一个难点.解题之难，也就在于没有一个普遍而又行之有效方法，去打破这无从下手窘况.虽在本文中有总结出来一些添加协助线来解决三角形中一些问题，可总结过后也难免会感觉有一些局限性.所以，处于山重水复疑无路时候，不妨跳出原来局限范围，联想到与之相像或者近似问题，并着力去开掘它们内在联络。由此及彼，已收“他山之石，可以攻玉效果。 15三角形中常见协助线歌诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接那么成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。