《中学数学三角形中常见的辅助线问题(经典含答案)(共9页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学数学三角形中常见的辅助线问题(经典含答案)(共9页).doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上 中学数学三角形中常见的辅助线问题1 前言1.1 研究背景1从1952年教育部颁布第一部中学数学教学大纲（草案)将三角形的教学内容分散安排在初一、初二和初三年级，中学数学大纲进行了多次修改，而三角形的教学内容也进行了多次调整。2以2000年颁布的过渡性九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）为标志，我国新一轮基础教育课程改革全面启动。2001年教育部颁布了现行的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中要求培养和增大合情推理能力，所以对初中平面几何图形尤其是三角形中的辅助线应该引起重视。1.2 研究目的在平面几何三角形的学习过程中，有部分三角形问题看上去很容易
2、解决，但在实际的动手的操作的过程中给人一种“山重水复疑无路”的感觉.然而，如何能够“柳暗花明又一村”，使得解题的思路明确，过程简捷？辅助线对问题的解决起着非常重要的作用，是否能添加正确的辅助线是能否解决问题的关键.本文基于前人对本论题的研究成果，针对如何正确、快捷地添加辅助线，以达到化繁为简的目的。结合历年中考考试题目总结归纳出常用的六类常用辅助线的方法，并对这些方法进行进一步的分析，体会蕴涵在三角形中的常见辅助线的思想方法，并能举一反三，创造性地运用所学知识。1.3 研究意义 （1）理论意义：进行初中数学三角形的有关辅助线问题的研究，会在一定程度上丰富三角形的教学理论。 （2）实践意义：本研
3、究在丰富的理论支持下，深入三角形的课堂教学研究提出具有实践意义的教学建议，可帮助教师选择正确教学模式，丰富课堂内容，提高课堂教学效率。2.三角形中的辅助线2.1 倍角化等腰 3当三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，经常通过转化倍角寻找到等腰三角形。 如图1中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形，并且ABD与CAB相似。 如图2中，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形，并且ABD与CAD相似。BCDABCDABCDA 如图3中，若B2ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等
4、腰三角。图3图2图1 例1.如图4，ABC中，ACB2B，BC2AC.求证：A90°. 图4分析：由于条件中ACB2B，可利用图1所做辅助线方式，所以作CD平分交AB于D，过D作于E，则由，知，即是等腰三角形。图4而，由等腰三角形三线合一可得，又BC2AC,所以ACEC。易证得，所以。评析：此题属于较简单的题，对于一般基础的学生还是比较容易入手，那么对于难度系数稍微高一点的题如例2。 例2.（2009年全国初中数学联赛)在ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=_ 解法一：分割法(图1辅助线方法） 如图5，作CAB的平分线AD交BC于D。ABCDBA， 图5
5、 评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。 4解法二：构造法（图2辅助线方法）如图6，延长CA至点D，使AD=AB。则D=ABD=CAB 图6=C，CBDDAB，BD2=AB·CD=7×（8+7）=105，BD=，又C=D，BC=BD= 评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。 解法三：综合法 如图7，作CAB的平分线AD交BC于D。作BEAD。ADCBAE， ADCEBC， 图
6、7×，（x+y）2=7×15，。 评析：由ADCBAE，BEAD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。2.2 角平分线问题5角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。2.2.1角平分线到两端的距离相等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离
7、相等的性质来证明问题。例3.如图8，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC，求证：AB=BC+CD 分析：题目中有角平分线和垂直，故想到过点D作DEAB于点E，由角平分线的性质可知，CD=DE，由全等三角形的判定定理可得BCDBED，可得出BC=BE，再根据ABC是等腰直 图8角三角形可知A=45°，故ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，再通过等量代换，所以AB=BE+AE=BC+CD 评析：此题难度系数不大，也可以才用后面所用的截长补短法来证明，证明过程也比较简单一般的学生都基本上能够解决。 例4.如图9，ABC中，ABAC，DF垂直平分BC交BAC
8、的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB 于E，连接BD，CD求证：DBE=DCA。分析：要证明的结论是两个角的角度相等，而图形中两个角不在同一个三角形中，所以想到证明两个三角形全等。从已知条件中有外角平分线，且DEAB，入手，想到角平分线到两边的距离相等，故过D作DGAC，根据线段垂直平分线上 图9的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DG，然后利用“HL”证明RtDBE和RtDCG全等，根据全等三角形对应角相等可得DBE=DCA。 评析：此题有一定难度系数，主要是学生不知道从哪里入手，而此题从外角平分线入手，与常规的内角平分线有所不同，
9、基础较好学生能独立完成。2.2.2利用角平分线构造对称图形 作法是在角平分线的一侧的长边上截取短边构造出对称图形，再利用两个三角形全等的性质将角或边转化。 6例5.如图10，已知ABC中，AB=AC，A=100°，BD平分ABC，求证：BC=BD+AD。分析：结论要证明边的和差关系，首先想到截长补短法，有一定难度，已知条件中告诉了A=100°，从角平分线入手，算出所有角度大小，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF，由 图10BD平分ABC，1=2进而得ABDEBD，DEB=A=100°则得DEC=80°又2=20所以F=80因
10、为4=3=40°，所以DCEDCF（AAS），所以DF=DE=AD，BC=BF=BD+DF=BD+AD。 评析：此题难度系数比较大，大多数学生会从结论出发，用截长补短法证明，此种方法不能充分利用BD是角平分线这一关键已知条件。2.2.3角平分线+垂线从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 7例6.如图11，已知ABC，BAC=90°，AB=AC，CD垂直于ABC角平分
11、线BD于D，AC，BD交于EAF为BC中线，交BE于G，求证：BE=2CD。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形，延长CD与BA延长线交于HBD为角平分线构建全 图11等三角形ABEACH（ASA），然后由全等三角形的对应边相等的性质、等腰三角形的“三合一”的性质可证得CH=2CD，所以BE=2CD。 评析：题中如果有角平分线和垂线，可联想到等腰三角形“三线合一”，再利用其基本性质解决要证明的问题。2.2.4角平分线+平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平
12、行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。 例7.如图12，在ABC中，AB=AC，在AC上取一点P，过P点作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F证明：AE=AP 分析：由已知条件知ABC为等腰三角形，且，所以想到角平分线+平行线，则可以作AD平分，由等腰 图12三角形三线合一性质，此时，故AD/EF。故可知是等腰三角形，所以AEAP。 8例8.如图13，BD平分ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EFBC交BD于F求证：AB=EF分析：已知条件中有角平分线和平行线，而要证明的时线段相等,想到角平分线+平行线构造出等腰三角形。作AMEF 图13交BD的延长线于M
13、，所以ABM为等腰三角形AM=AB，再证ADMEDF，推出EF=AM，得到AB=EF。 评析：此题中的关键是利用BD平分ABC，做平行线构造等腰三角形，将AB转化成AM。2.3 中点问题 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。2.3.1倍长中线法 9当出现线段中点或三角形中线时，常常延长中线构造全等三角形。倍长中线法又可分为直接倍长法和间接倍长法。 ABC中 方式1：直接倍长 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD，连接BE 方
14、式2：间接倍长 作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN 例9.如图14，ABC中，D为BC的中点求证：AB+AC2AD 分析：从已知条件中D为BC中点入手，想到倍长中线，延长图14AD至E使DE=AD，连接BE，构造ADCEDB，得AC=BE，再根据三角形的三边关系可得AB+ACAE即AB+AC2AD得证。 评析：此题属于倍长中线法的简单应用，但也曾出现在初中数学竞赛中。 2.3.2中位线法 中位线既有线段的等量关系，又有平行性，而平行线又可以产生等角关系，更重要的是，在涉及中点的题目中，中位线常起过渡和转化的作用.那么我们可以加以利用中位线
15、的相关性质加以添加辅助线解题。 例10.（2013年数学联赛四川省初二初赛）如图15，已知四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M求证：BNF=CMF。 分析：由已知条件可知，E、F分别为AD与BC的中点，想到中位线定理，连接AC，取AC的中点K，连结EK，FK，则EK、FK分别是ACD和ABC的中位线，得到CD=2EK，AB=2FK,根据AB=DC得到FEK=EFK，根据平行线性质可得: 图15FEK=CMF，EFK=BNF，BNF=CMF。2.3.3直角三角形斜边的中线 10直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半。 例
16、16.如图23，ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DGCE，G为垂足，证明：DC=BE。分析：要证明DC=BE，而这两条线段又没有在同一个三角形中，不能直接入手，由已知条件ABD为直角三角形且E为斜边中点，所以想到连接DE，G是CE的中点，DG 图23CEDG是CE的垂直平分线，DE=DC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线，DE=BE=AB，DC=BE。2. 线段和差倍问题 2.1截长法 11截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条（此种方法在中学最常见）。 例11.如图16，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，
17、B+D=180，求证：AE=AD+BE。分析：采用截长法：首先在AE上截取AM=AD，连接CM，再证明AMCADC，可得3=D，再根据B+D=180°，3+4=180°，可以证出4=B，根据等角对等边可证出图16CM=BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到MEBE，再利用等量代换可证出AE=AD+BE。2.2补短法 12补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。例12.如图17，在四边形ABCD中，ABCD，点E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F求证：AB=AF+CF。 分析：
18、延长AE、DF交于点M，不难证明ABEMCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发图17现，BAE=EAF，BAE=M（ABCD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC。 评析：在三角形中遇到求证线段间和，差，倍数关系时,一般方法是截长或补短法，在同一道题中一般两种方法都可以用。 例13：如图18：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。证明：（截长法）在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中，ANAC，12，APAP，所以APNAPC （SAS）所以PCPN （全等三角形对应边相
19、等）在BPN中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）所以：BPPCABAC。图18 证明：（补短法）延长AC至M，使AMAB，连接PM，在ABP和AMP中，ABAM，12，APAP，所以ABPAMP （SAS）有PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边) ，所以：ABACPBPC。2. 线段比例问题 2.平行法 此种类型的题从已知题目中不能直接得出结论，通过添加平行线，通过平行线的性质再进行转换形成全等或相似三角形，进而解决问题，如以下两题。 13例15.如图19，ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF
20、=BE，连接EF，交BC于点D，求证：DE=DF。 分析：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 证明：作EGAC交BC于G，BGE=ACB，GED=F， 图19EGD=FCDAB=AC，B=ACB，B=BGE，BE=EGCF=BE，CF=GE在GED和CFD中，GED=F，GE=CFEGD=FCD，GEDCFD（ASA），DE=DF。 评析：当对某些三角形的图形无从下手时，不妨大胆加以猜想，根据某些交点，过该交点作等腰三角形的腰或底
21、边的平行线，再加以利用等腰三角形以及添加的平行线的性质来解题。此题的辅助线还可以有以下几种作法，学生的选择比较多，但他们的本质都是相同的。图20图21 2. .2平行线分线段成比例 14辅助线一般作在“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。 例16.如图22，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为多少？分析：过M作MFBD，如图所示：M是AC边的中点，FM为ABC的中位线，即FM=BC，F为AB的中点，AE=AB，EF=EB，MFBC，EFMEBD图22其相似比为1：3，即FM=BD
22、，FM=BC，CD=BC，即BC：CD=2：1。3.结论与建议数学是锻炼思维的体操，发现问题、探索思路，都是这种体操锻炼的重要内容，而发现探索都离不开巧妙的联想。三角形是所有图形中最基本的图形，所以我们需要透彻的了解到它的基本性质，然而，如何灵活运用这些性质却是一个难点.解题之难，也就在于没有一个普遍而又行之有效的办法，去打破这无从下手的窘况.虽在本文中有总结出来一些添加辅助线来解决三角形中的一些问题，可总结过后也难免会感觉有一些局限性.所以，处于山重水复疑无路的时候，不妨跳出原来局限的范围，联想到与之相似或者近似的问题，并着力去发掘它们内在的联系。由此及彼，已收“他山之石，可以攻玉”的效果。 15三角形中常见辅助线歌诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。专心-专注-专业