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1、13.4 课题学习 最短路径问题 教学目标 1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学过程 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短等的问题，我们称它们为最短路径问
2、题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题 板书课题 学 生 思考 教 师展 示 问题，并观察图片，获 得 感性认识.从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建构新知 追问 1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动 1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？动手画 直线 观察口答 为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.师生活动：学生尝试答
3、复，并互相补充，最后达成共识：1从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；2 在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；3现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小如图 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题 活动 2：尝试解决数学问题 问题 2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问 1 你能利用轴对称的有关知识
4、，找到上问中符合条件的点B吗？问题 3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？动手连线 观察口答 独 立 思考 合 作 交流 汇报交流成果，书写理由.思 考 感悟活动 1中 的 将军 饮 马问题，把刚 学 过的 方 法经 验 迁移过来 学 生 独立完成，集 体 订正 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑 思 考 能力.到达轴对称知识的学以致用 注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决 及时进行学法指导，注重方法规律的 提 炼 总结.学以致用，及时稳固 l A B C B B。A l B A 师生活动
5、：学生独立思考，画图分析，并尝试答复，互相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：1作点B 关于直线l 的对称点B；2 连接AB，与直线l 相交于点C，那么点C 即为所求 如下图：问题 3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C与点C 不重合，连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC 学 生 独立完成，集 体 订正 注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑 思 考 能力.l C A B B 方法提炼：将最
6、短路径问题抽象为“线段和最小问题.问题 4 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 根本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小 问题 5 造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直 互 相 交流 解 题经验 独
7、 立 完成，交流经验 观 察 思考，动手画图，用轴 对 称知 识 进行解决 提炼思想方法：轴对称，线段和最短 体会转化思想，体验轴对称知识的应用 B l A BC CA B C P Q 山 河岸 大桥 思维分析：1、如图假定任选位置造桥，连接和，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？估计有以下方法 1、把 A 平移到岸边.2、把 B 平移到岸边.3、把桥平移到和 A 相连.4、把桥平移到和 B 相连.教师：上述方法都能做到使 A
8、M+MN+BN 不变呢？请检验.1、2 两种方法改变了.怎样调整呢？把 A 或 B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移 A 到 A1，使A1 等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.理由；另任作桥，连接，.由平移性质可知，.AM+MN+BN 转化为，而 转化为.在中，由线段公理知A1N1+BN1 A1B 因 此 AM+MN+BN 如下图：各 抒 己见 合 作 与交流 交 流 体会 动手体验 动手作图 体验转化思想 B A B A A 方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 三、稳固训练 1、最短路径问题(1
9、)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求 如下图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CACB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，那么与该直线的交点即为所求 如下图，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CACB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B，那么点 C是直线 l 与AB的交点 2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条
10、河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直 学 生 独立 思 考解 决 问题 稳固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透 转 化 思想.A1 N M 第 3 课时 多项式 如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+桥 MN 和 PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A 点处、都平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处，PQ 平移到 B 点处 .独 立 思考，合作交流.提炼方法，为课本例题奠定根底.
11、四、反思小结 布置作业 小结反思 1本节课研究问题的根本过程是什么？2轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？作业布置、课后延伸 必做题：课本 P93-15 题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题 自 由 发言,相互借鉴.自我评价.总结回忆学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.关注学生的个体差异.板书设计：教学反思：13.4 最短路径问题 两点的所有连线中，线段最短、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短等的问题，我们称它们为最短路径问题 方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题 1理解多项式
12、的概念；(重点)2能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3能正确区分单项式和多项式(重点)一、情境导入 列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，那么长方形的周长是_；(2)图中阴影局部的面积为_；(3)某班有男生x人，女生 21 人，那么这个班的学生一共有_人 观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？二、合作探究 探究点一：多项式的相关概念【类型一】单项式、多项式与整式的识别 指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2y2，x，ab3，10，6xy1，1x，17m2n，2x2x5，2x2x，a7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区
13、别来进行判断 解：2x2x，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式 单项式有：x，10，17m2n，a7；多项式有：x2y2，ab3，6xy1，2x2x5；整式有：x2y2，x，ab3，10，6xy1，17m2n，2x2x5，a7.方法总结：(1)分母中含有字母(除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算【类型二】确定多项式的项数和次数 写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式(1)23x23x5；(2)abcd；(3)a2a2b2a2b2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式
14、中次数最高的单项式的次数，可得答案 解：(1)23x23x5 的项数为 3，次数为 2，二次三项式；(2)abcd的项数为 4，次数为 1，一次四项式；(3)a2a2b2a2b2的项数为 3，次数为 4，四次三项式 方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项【类型三】根据多项式的概念求字母的取值 5xm104xm4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式 解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m26，解得m4，进而可得此多项式 解：由题意得m26，解得m4
15、，此多项式是5x4104x44x4y2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数【类型四】与多项式有关的探究性问题 假设关于x的多项式5x3mx2(n1)x1 不含二次项和一次项，求m、n的值 解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为 0.解：关于x的多项式5x3mx2(n1)x1 不含二次项和一次项，m0，n10，那么m0，n1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为 0.探究点二：多项式的应用 如图，某居民小区有一块宽为 2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花
16、台内种花，其余种草如果建造花台及种花费用每平方米为 100 元，种草费用每平方米为 50 元那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积 解：花台面积和为a2平方米，草地面积为(2aba2)平方米所以需资金为100a250(2aba2)元 方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序 三、板书设计 多项式：几个单项式的和叫做多项式 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项 常数项：不含字母的项叫做常数项 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数 整式：单项式与多项式统称整式 这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快 90%以上的学生都可以理解、掌握虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约