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1、新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题 课题学习 最短路径问题 【教学目标】教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,
2、连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景 引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究 合作交流 建构新知 追问 1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动 1:思考画图、得出数学问题 将 A,B 两地抽象为两个点,将河 l 抽象为一条直线.追
3、问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:(1)从 A 地出发,到河边l 饮马,然后到 B 地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与 A,B 连接起来 的两条线段的长度之和,就是从 A 地到饮马地点,再回到 B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点.设 C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点 C 在 l 的什么位置时,AC 与 CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动 2:尝试解决数学问题 问题 1:如图,点 A,B 在直
4、线 l 的同侧,点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在l 的什么位置时,AC 与 CB 的和最小?追问 1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点 B吗?点 A,B 在直线 l 的同侧,点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在 l 的问题 2 如图,什么位置时,AC 与 CB 的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 教师可作如下提示 如果学生有困难,作法:(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B;(2)连接 AB,与直线 l 相交于点 C,则点 C 即为所求.如图所示:问题 3 你能用所学的知识证明 AC+BC 最短吗?教师展示:证明:如图,在直线 l
5、上任取一点 C(与点 C 不重合),连接AC,BC,BC.由轴对称的性质知,BC=BC,BC=BC.AC+BC=AC+BC=AB,AC+BC=AC+BC.在?ACB中,AC+BCAB,当只有在 C 点位置时,AC+BC 最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题 4 练习 如图,一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客,然后将游客送往河岸 BC 上,再返回 P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接 PQ,线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线 BC,这样问题就转化为“点 P,Q 在直线BC 的同
6、侧,如何在 BC 上找到一点 R,使 PR 与 QR 的和最小”.问题 5 造桥选址问题 如图,A 和 B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 MN.桥建在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥 MN,连接 AM 和 BN,从 A 到 B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把 A 平移到岸边.2.把 B 平移到岸边.3.把桥
7、平移到和 A 相连.4.把桥平移到和 B 相连.教师:上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢?请检验.1、2 两种方法改变了.怎样调整呢?把 A 或 B 分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移 A 到 A,使 AA 等于河宽,连接 AB 交河岸于 N.作桥 MN,此时111 路径 AM+MN+BN 最短.理由:另任作桥 MN,连接 AM,BN,AN.由平移性质可 111111 知,AM=AN,AA=MN=MN,AM=AN.AM+MN+BN 转化为 AA+AB,而 111111111AM+MN+BN 转化为 AA+AN+BN.在?ANB 中,由线段公理知 A
8、N+BNAB.11111111111111 因此AM+MN+BN AM+MN+BN,如图所示:1111 三、巩固训练 )基础训练(一 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个点 C,使 CA+CB 最短,这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一
9、个点 C,使 CA+CB 最短,这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B,则点 C 是直线 l 与 AB的交点.2.如图,A 和 B 两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+QB.桥 MN 和 PQ 在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到 A 点处、都平移到 B 点处、MN平移到 A 点处,PQ 平移到 B 点处.)变式训练(二 如
10、图,小河边有两个村庄 A,B,要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.(1)若要使厂部到 A,B 村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到 A,B 两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,OB 桌面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到 D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图 a 图 b 四、反思小结 (1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置 课本 93 页第 15 题.