量子力学复习资料.pdf

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1、量子力学复习资料1/12 第一章知识点：1.黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2.处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。3.实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。4.光电效应-光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现5.光电效应特点：1.临界频率 0 只有当光的频率大于某一定值0 时，才有光电子发射出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的这一频率 0 称为临界频率。2.光

2、电子的能量只是与照射光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于0 时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s）6.光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 振荡;b.黑体只能以E=h 为能量单位不连续的发射和吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7.总结光子能量、动量关系式如下：把光子的波动性和粒子性联系了起来8.波长增量=随散射角增大而增大.这一现象称为康普顿效应.散射波的波长总是比入射波波长长（）且随散射角增大而增大。9.波尔假定：1.原子具有能量不连续的定

3、态的概念.2.量子跃迁的概念.10.德布罗意：?假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E=h=E/h?P=h/=h/p?该关系称为de.Broglie 关系.德布罗意波：de Broglie 关系：=E/h =2=2 E/h=E/=h/p k=1/=2 /=p/nkhknnhnChnCEphE22其中波长。称为电子的其中ComptoncmCm100020104.222sin2?)(expEtrpiA量子力学复习资料2/12 第二章知识点：1.描写自由粒子的平面波波函数：2.在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度正比于该点附近

4、感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在r 点附近的几率.3.|(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。|(r，t)|2的意义是：t时刻，在 r点附近单位体积内找到粒子的概率。4.由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即(r,t)和 C(r,t)描述同一状态。这与经典波不同.经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.5.|(A)-1/

5、2(r,t)|2 d=1 (A)-1/2 称为归一化因子.注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性.若 (r,t)是归一化波函数，那末，ei (r,t)也是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波6.平面波归一化t=0 时的平面波考虑一维积分若取 A12 2=1，则 A1=2-1/2,于是三维情况：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。7.态叠加原理：一般情况下，如果 1和 2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加=C11+C2 2 也是该体系的一个可能状态.其中 C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学

6、的态叠加原理.若 1中测量 A为a1,2中测量 A为a2,那么在态中测量 A值既可能是 a1也可能是 a2,具有不确定性，但有确定的权重.8.(r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态.9.薛定谔方程（波动方程）10.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性11.量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态波函数随时间的演化遵从Schr?dinger 方程?)(expEtrpiAEtipEtrpiperAetr?)(),(xpipxxex21)(2/321)(rpipe

7、r?22(,)()(,)2?(,)?ir tV rr ttHr tHHamiltonHamilton式中是体系的算符，亦常称为量.量子力学复习资料3/12 12.定态波函数：该方程称为定态Schr?dinger 方程，(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0 时刻(r,0)的定态波函数.定态的性质：1.定态-E 具有确定值2.粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关3.任何不显含t 的力学量平均值与t 无关综上所述，当满足下列三个等价条件中的任一个时，就是定态波函数：描述的状态其能量有确定的值；满足定态Schr?dinger 方程；|2 与 t 无关.13.能量本征值方程：将改写成常量E 称

8、为算符H 的本征值；称为算符H 的本征函数.当体系处于能量算符本征函数所描写态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值14.束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，=0.这样的状态，称为束缚态15.线性谐振子：量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子.16.线性谐振子能级为n=0 时称为零点能17.厄密多项式：Hn()的最高次幂是n 其系数是2n Hn()的最高次项是(2)n.所以：当 n=偶，则厄密多项式只含的偶次项；当 n=奇，则厄密多项式只含的奇次项.18.透射系数：透射波几率流密度与入射波几

9、率流密度之比称为透射系数D=JD/JI 其物理意义是：描述贯穿到x a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂直x 方向的单位面积的数目与入射粒子（在x 和|的关系：1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数6.X 表象描述与Dirac 符号2)(),(2/pEextxptiEppdxtxxtpCp),()(*),()(/ppetiEp)()(?xuQxuQnnn1)(|)(|1),(),()()(?),(?)(|),(*ttQQdxtxtxdxxuxuF

10、irFttxmnnmmnnm本征函数归一化算符波函数*n*()()()|()|1()()()|1()()()qqnnnnnqqux ux dxqqqqqqQQux uxxxqdqqux ux dqxx正交归一性本征函 数封闭性|?|?|?)()()?,(?)(|?)(|),()?,(?),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平均值本征方程公式)(|?)(|),(),(?),(|?|?*tHtdtditrirHtrtiSnFmFdxFFmnnmmn方程矩阵元量子力学复习资料8/12 7.证8.厄密共轭规则:1）把全部次序整个颠倒2）作如下代换：常量C C*|例9.用狄拉克符号表示波

11、函数归一化条件=110.粒子湮灭算符粒子产生算符振子基态的基矢11.占有数表象：以|n 为基矢的表象称为占有数表象12.N 的意义：13.么正矩阵条件：S+S=S S+S+=S-1 14.么正变换不改变厄密矩阵的厄密性1?,?aa2211?,(),()22aaxpxpii22211?,2xpxpii222221111?,2x xxpp xppiiii221?,2x pp xi22122ii1FF?|Cu Fv*|?|CuFv1|?nnna1|1|?nnna00|?anaanN|?|?1|?nnannn|1)1(nn|030000020000010a00300000200000100000a量子

12、力学复习资料9/12 一、填空题1、光的粒子性是由、和三个实验最终确定的。2、波函数模的平方2(,)r t表示的物理意义是。3、描写定态的波函数一定具有形式。4、隧道效应是由于粒子具有性质而表现出来的量子效应。5、厄米算符的本征函数具有、和等性质。6、氢原子能级简并的原因是。7、完成下列对易关系：?,xy p，,zyLL，2,LLz。8、球谐函数(,)lmY是算符和共同的本征函数，相应的本征值分别为和。9、自旋算符的矩阵表达式为：xS、yS、zS。二、选择题1、正负电子对湮灭时产生两个光子，光子的最大波长为（）A、0.0240A，B、0.240A，C、0.00240A，D、无法确定。2、验证电

13、子具有波动性的实验是（）A、戴维逊革末实验，B、斯特恩盖拉赫实验，C、夫兰克赫兹实验，D、斯塔克效应实验。3、在波函数的统计解释中，正确的说法是（）A、(,)r t表示粒子出现的概率，B、2(,)r t表示 t 时刻粒子在空间r处出现的概率密度，C、2(,)r t表示 t 时刻粒子在空间r处出现的概率，D、(,)r t表示 t 时刻粒子在空间r处出现的概率密度。4、在任意态中测量力学量F 一次，会得到（）A、?F的某一本征值，B、?F的本征值之和，C、F的平均值，D、F 的一切本征值量子力学复习资料10/12 5、下列体系中能级间隔随量子数增大而增大的是（）A、线性谐振子，B、一维无限深势阱，

14、C、氢原子，D、氦原子6、若氢原子处于状态311110211 122()()(,)()(,)rRr YRr Y则有确定值的力学量是（）A、体系的能量，B、角动量的平方2L，C、角动量的 z 轴分量zL，D、角动量的 x 轴分量xL三、计算题1、设粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：sin()0()00,iEtAx exaxax xa，求（1）归一化波函数；（2）几率密度；（3）粒子在何处几率最大，最大几率为多少？量子力学复习资料11/12 2、设氢原子处于状态2110211 113(,)()(,)()(,)22rRr YRr Y，求氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值及其相应的几率，并求各量的平均值。几率为 1 几率为 1 可能值相应的几率m 0 0 1/4 m 1 3/43、已知在2L和zL的共同表象中，算符xL的矩阵为01021012010 xL，求其本征值和归一化的本征函数。44222228ssneeEEn428seE222(1)2Ll l222LzLm1330()444zL量子力学复习资料12/12 4、证明?zS 的本征态12()zs和12()zs都不是?yS 的本征态。书上每章的小结请大家认真阅读，作业题也请认真理解。此复习资料仅供参考希望大家取得好成绩。