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1、 2021 量子力学考研与量子力学考点复习笔记 一、考研真题与解题的思路 43 试求屏蔽库仑场的微分散射截面。浙江大学 2014 研【解题的思路】对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。【解答】由玻恩近似可得微分散射截面为 【知识储备】玻恩近似法 适用条件（高能散射）微分散射截面 其中 U（r）为粒子和散射中心相互作用的势能，K kk，k，k分别为粒子散射前后的波矢，并且，是散射角。【拓展发散】对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。44 设算符 A 和 B 不对易，但 A 和 B 都与 C 对易，即，试证明：（1），n 为正整数；（2）厦门大学
2、2012 研【解题的思路】根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。【解答】（1）因为 所以 （2）【知识储备】e 指数函数的展开式 对易式中满足的基本恒等式 A，BCA，BA，C A，BCBA，CA，BC AB，CAB，CA，CB A，B，CB，C，AC，A，B0 45 粒子被束缚在半径为 r 的圆周上运动。（1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即 求解粒子的能量本征值和本征函数。（2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？南京大学 2002 研【解题的思路】分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方
3、程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。【解答】（1）当时，；当时，粒子的转动惯量为，对应的哈密顿量为。由定态薛定谔方程可得 即 令 求解得 由波函数的连续性可得，即，所以 ，即，所以，因此 由波函数的归一化条件可得 （2）当撤去路障后，粒子的本征波函数和本征能量为 其中。由本征波函数的完备性可得 由傅里叶变换可得 因此 所以粒子仍然处于最低能量态的几率是 【知识储备】定态薛定谔方程 【拓展发散】改变变化方式，缓慢撤去路障，求解粒子仍然处于最低能量态的几率，并且将结果和突然撤去路障的结果比较，区别这两种情形对量子态的影响。46 设算符，且。证明：如果是的本征函数，对应的本征值为，则波函数也是
4、 N 的本征函数，对应的本征值为；而也是 N 的本征函数，对应的本征值为。南京大学 2002 研【解题的思路】利用本征方程的定义，以及升降算符的对易关系。【解答】根据题意，N 的本征方程为。因为，所以 即波函数是 N 的本征函数，对应的本征值为；即波函数是 N 的本征函数，对应的本征值为。【知识储备】本征方程 升算符（也称产生算符）降算符（也称湮灭算符）粒子湮灭算符满足 粒子产生算符满足 47 三个自旋为 1/2 的粒子，它们的哈密顿量为，求其本征值和简并度。北京大学 2000 研【解题的思路】分析哈密顿量的表达式，这是对称的形式，可以通过三个自旋算符的和式平方转化而得，如此则可以比较方便的求
5、解。【解答】分析题意，哈密顿量为 这是对称的形式，所以 总自旋为 因此 所以哈密顿量为 明显可知哈密顿量的本征态为，本征值为 由角动量的合成可得，三个自旋为 1/2 的总自旋为 1/2 或者 3/2。所以 简并度为 4；简并度为 4。【知识储备】S在空间任意方向上的投影只能取两个数值，满足 记 S2s（s1）2，则 s1/2，称 s 为自旋量子数。【拓展发散】三个自旋为 1/2 的粒子，它们的哈密顿量为，利用同样的对称思想可以求其本征值和简并度。48 设有两个质量为 m 的一维全同粒子，它们之间的相互作用为（a0），（1）若粒子自旋为 0，写出它们的相对运动的基态能量和波函数；（2）若粒子自旋
6、为，写出它们的相对运动的基态及第一激发态能量和波函数。北京大学 2001 研【解题的思路】分析两个粒子的势能形式，与谐振子势相同，之后要考虑它们是全同粒子还是非全同粒子，根据它们对波函数的对称性要求，就可以通过构造波函数坐标部分和自旋部分各自的交换对称性来最终满足总波函数的对称性要求。【解答】（1）对于两个粒子间的势场为，可以固定一个粒子，即令 其中，。若粒子自旋为 0，总自旋 s0，则基态能量为 对应的波函数为 （2）若粒子自旋为，则它们都是费米子，总波函数满足交换反对称性。基态：能量为 波函数为 第一激发态：能量为 波函数为 或者 或者 【知识储备】谐振子势能满足方程 本征值 振子的基态（
7、n0）能量，零点能 本征函数 其中 自旋单态和三重态 若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数S和反对称自旋波函数A，分别写为 49 简答题：（1）在中心力场中，粒子处于定态，轨道角动量是否有确定值？（2）写出坐标的本征态在动量表象中的表示及动量的本征态在坐标表象中的表示。（3）若在薛定谔绘景中，试给出海森堡绘景中的。北京大学 2001 研【解题的思路】理解中心力场的对称性和轨道角动量的表达式；熟练运用傅里叶变换，了解对自由粒子在动量表象和坐标表象中的不同表达形式；了解三种不同绘景，以及薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景之间的相互转换。【解答】（1）不一定；（2）坐标的本征态在动量表
8、象中的表示为 动量的本征态在坐标表象中的表示为 （3）50 自旋 1/2 的粒子处于磁场 B 中，该粒子绕磁场进动的角频率记为B。设t0 时粒子处于自旋朝下态，求 t 时刻粒子仍处于该态的几率。中国科学院 2006 研【解题的思路】本题是典型的已知在一力场中运动的初始状态，要求解 t 时刻的波函数，从而了解粒子所处状态的几率问题；利用含时薛定谔方程来求解波函数，即 对于自旋 1/2 的粒子处于磁场 B 中的哈密顿量为 .【解答】因为 所以 对于自旋 1/2 的粒子处于磁场 B 中的哈密顿量为 其中 因为 所以 因此 其中 所以 因此，可以从波函数得出 t 时刻粒子仍处于自旋向下态的几率为 【知
9、识储备】波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出 当 U（r，t）与 t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，（r）满足定态薛定谔方程 此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为 一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。自旋算符 泡利算符满足下列关系：在z表象中，x，y，z的表示矩阵分别为：【拓展发散】粒子处于磁场 B 中初始状态的自旋为 1/2 和1/2 的叠加态，如，最后可以问粒子在 t 时刻处在自旋为 1/2 或者1/2 的几率；当粒子处于磁场
10、B 中初始状态的自旋为 1/2，也可以问粒子在 t 时刻发生跃迁到自旋为1/2 的几率；类似于本题的粒子处在电磁场中的问题，也可以用来考查微扰的相关知识，比如定态非简并微扰和含时微扰，可用来解决跃迁等相关问题。1 概念证明：（1）证明任意算符的平均值满足如下等式：（2）若某哈密顿量 H 的所有本征态非简并，并且算符 f 满足，证明 f和 H 可以同时对角化。华南理工大学 2018 研【解题的思路】对力学量的平均值求时间的导数，可以利用含时薛定谔方程带入计算，由此就可以得出要证明的关系式；对于两个互相对易的力学量算符，有共同的本征态。【解答】（1）因为 并且 所以 （2）设为 H 的本征函数，则
11、 因为 所以 因此，mn 时，则 f 和 H 可以同时对角化。【知识储备】含时薛定谔方程 力学量的平均值公式 42 设某二能级系统的能级分别为 E1、E2（E1），并有对应的两个无简并定态，在初始时刻系统处于基态，而后加入微扰作用 V，试求以后任意时刻系统处于这两个定态的几率。南京大学 2014 研【解题的思路】分析题意，这是含时微扰，直接利用含时微扰理论公式带入已知条件即可求解。【解答】在二能级系统中，加入微扰，可以利用含时微扰理论得 体系在微扰作用下由初态1跃迁到终态2态的概率幅为 所以相应的跃迁几率为 因此，在 t 时刻，系统处在2态的几率为 系统处在1态的几率为 【知识储备】含时微扰理论 含时微扰体系哈密顿量H（t）H0H（t），体系波函数所满足的薛定谔方程为 将按H0的本征函数n展开得 则在 t 时刻发现体系处于m态的概率是|am（t）|2。若体系在 t0 时处于H0的本征态k，则 体系在微扰作用下由初态k跃迁到终态m态的概率幅为 相应的跃迁概率为 其中