量子力学主要知识点复习资料.pdf-淘文阁

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1、1 / 10 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1 能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量的整数倍n,4,3,2,对频率为的谐振子 , 最小能量为:h2.波粒二象性波粒二象性（ wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“ 物质 ” 。1905 年，爱因斯坦提

2、出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年，德布罗意提出 “ 物质波 ” 假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式hmcE2hmpv3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程0),()(2),(22trrVmtrti粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点 (x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，

3、可将粒子的波函数称为概率波。自由粒子的波函数)(expEtrpiAk波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4.波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数，则和对粒子在点 (x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点 (x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件5.力学量的平均值2|( , , )|x y z2|( , , )|x y zx y zx y z2|( , ,

4、 ) |1x y zdxdydz( , , )x y z( , , )cx y zieC( , , )iex y z( , )x y z2 / 10 既然表示粒子出现在点附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值，由概率论，有又如，势能V 是r的函数：)(rV，其平均值由概率论，可表示为rdrrVrV3*)()()(rdrrVrV3*)()()(再如，动量的平均值为：为什么不能写成因为 x 完全确定时p 完全不确定， x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为rdrpr3*)(?)(其中为动量的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数（量

5、子态）的一种运算如动量算符ip?能量算符EtiE?动能算符222?mT动能平均值rdrTrT3*)(?)(角动量算符prl?角动量平均值rdrlrl3*)(?)(薛定谔方程),(),(2),(22trtrVmtrti算符，被称为哈密顿算符，7.定态数学中，形如的方程，称为本征方程。其中方程称为能量本征方程，被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。当 E 为确定值，),(tr=)(rE)exp(Eti拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t 的力学量的平均值不随时间改22|( ) |( , , ) |rx y zr),(zyxr23

6、*3|( )|( )( ),xrxd rr xr d rrrr3d rdxdydz*3( )(),pp pp d pr rrrdrrprp3*)()()(ip?p?Afaf?A算符, f本征函数, a本征值22?( )2HV rmhr22?( )( )( )( )( )2EEEEV rrErHrErmhrrrrr)(rE3 / 10 变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即)()(x

7、cxnnn，具有),(中发现粒子处于态)(表示在态|2xxcnn的概率能量nE9.宇称若势函数V（x）=V（ -x），若)(x是能量本征方程对于能量本征值E的解，则)(x也是能量本征方程对于能量本征值E的解具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(xxxVxVEx10.束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11.一维谐振子的能量本征值12.隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按

8、照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点 )穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2 低温下反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式，通常:( )()( )(

9、)( )( )()( )( )cos( )cos()cos( )sin( )sin()sin( )PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称.,2, 1 ,0,)2/1(nnEEnABBA?ABBABABA?,?设,?和?0?,?BA4 / 10 坐标对易关系角动量的对易式,0?,?,?,?,?,?,?,?,0?,?,?,?,?,?,?,?, 0?,?,0,?,?,?,?, 0,?,?,?,?,0,?zyxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxyzzyyyxxxplpiplpiplpiplpl

10、piplpiplpiplplzlxiylyixlxizlylzixlyizlziylxlyxzxzyzyxzzyyxxlilllilllillllllll?,?,?,?,?,?,0?,?,0?,?,0?,?14.厄密算符平均值的性质,?,?*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则AAAA。即记为*?,?AAA先转置，再共轭。*?AdAd体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15.量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数描写。2、波函数的模方表示t 时刻粒

11、子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程,0,?,iipzyx,0?,?, 0?,?, 0?,?,?2222222zyxzyxllllllllll有令),(tr2|),(|tr2222?( , )() ( , )( , ),2?( , )2ir tVr tHr ttmHV r tmhrrrhhr哈密顿算符5 / 10 16.算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如的方程，称为本征方程。其中3*其中，,)(均可展开如下：状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如?是算符和draaxAAAnnnnnnn

12、nn17.不确定度关系的严格表达18.两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即0?,?BA19.力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由的本征值不能确定体系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。20.力学量完全集共同本征态的性质?Afaf?A算

13、符,f本征函数, a本征值?,?nnnnnAAAnAAAAAA)满足的和不止一组可能有组，因此此式称为的本征方程，称为的一个本征值，称为的一个本征态。6 / 10 若能级简并21.守恒量对于 Hamilton 量 H 不含时的量子体系，如果力学量A 与 H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢| 表示态矢，左矢 | 表示其共厄矢量，是内积，大于等于0，称为模方。 |

15、lmzlmlmlm注意量纲注意，推导过程计算题有可能要考24.氢原子的能量本征值与能级简并度,3 ,2 ,1,121222224nnaeneEEn简并的氢原子的能级是2n25.正常 Zeeman 效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26.电子自旋电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称自旋不是机械的自转27 关于电子自旋的Stern-Gerlach 实验Stern-Gerlach experi

16、ment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发 , 通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）, 最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。8 / 10 实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构自旋。性。其根源正是电子的果，而是原子的故有特外界因素作用的结效应不

17、同，此现象并非与。0.589，6.589两条谱线构成：是由行观测，发现它实际上用高分辨率的光谱仪进,3.589的跃迁产生一条黄线33对钠原子，21Zeemannmnmnmsp29.量子跃迁与选择定则。1|能跃迁到第一激发态只0|振子从基态在外电场的激发下，谐。这称为跃迁的选择定则的跃迁发生，1表明允许谐振子不能发生，0，30，20可以发生，10以上结果表明，1,0)(,02)(022221022nnnPeqPn即谐振子只能跃迁到相邻能级30.禁戒跃迁9 / 10 的跃迁是禁戒的。到者说，从的跃迁是不可能的，或到表明从，0，0，使得若存在这样的末态)13(|1)(时，有的概率。当跃迁到末态代表系

18、统从初态)(则,|)(|)(令)12(1)(已知20220kkkkPHkdtHetPkkkktPtCtPdtHeitCkkkktkktikkkkkkkktkktikkkkkkkk的跃迁为禁戒跃迁。0，30，20。或者说，1其中,|能跃迁到激发态不0|振子从基态在外电场的激发下，谐nnn31.微扰论的思想解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接

19、近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。32.突发微扰与绝热微扰做绝热微扰。样的微扰叫会改变系统的状态，这地作用到系统上时，不当外界的微扰十分缓慢做突发微扰。这样的微扰叫不会改变系统的状态，地作用到系统上时，也当外界的微扰十分突然33.能量与时间不确定度不能同时为零。度，同系统能量的不确定变化快慢的周期此式反映了一个力学量2此式的一般形式为：确定度关系，可以证明被称为时间能量的不EttEhEt34.能级宽度与谱线宽度展宽。一个宽度，这叫能级的所以，所有的能级都有2由于能量不确定性tEk10 / 10 称为谱线宽度。,这叫谱线的展宽/)(其中，,该是谱线的频率应.频率范围一个频率，而是有一个/)(发出的谱线，就不止时，跃迁到，所以，当电子从,既然能级有展宽，即10)0(1)0(011)0(11)0(hEEhEEEEEEEEEEkkkkkkkkkkkk35.半经典理论36 吸收，受激辐射，自发辐射后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT ，但是那个PPT只给了考点范围，没有给概念解释，所以我查阅了PPT ，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。

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