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1、高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-1-/11 合情推理与演绎推理一、归纳推理例 1（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3 个点可以连3 条弦，4 个点可以连6 条弦，5 个点可以连10 条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式 1.设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=_；当4n时，)(nf（用n表示）变式 2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4 条线段,同时将圆分割成 4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9 条线段,同时
2、将圆分割成7 部分.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?(2)猜想:圆内两两相交的n(n2)条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-2-/11 强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36 个圆的颜色应是 .2.由10785,119108,2513219,若a b 0,m 0，则mamb与ab之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是（填序号）.A，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2 a|AB|，得 P 的轨迹为椭圆由 a1=1，a
3、n=3n-1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和 Sn的表达式由圆 x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆2222byax=1 的面积 S=ab科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第 60 个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例 1.在等差数列na中，若010a，则有等式naaa21),19(1921Nnnaaan成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若19b，则有等式成立.强化练习1.定义“等和数列”，
4、在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an等和数列，且21a，公和 为5。那 么18a的 值 为 _，这 个 数 列 前n 项 和nS的 计 算 公 式 为_。高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-3-/11 2.若数列)(*Nnan是等差数列，则有数列;)(,.*321也是等差数列Nnnaaaabnn类比上述性质，相应地：若数列)(*Nncn是等比数列，且0nc，则有数列。Nndn也是等比数列)(_,_*（二）几何中的类比例 1.如图 1，若射线 OM，ON 上分别存在点M1，M2与点 N
5、1，N2，则2211NOMNOMSS=21OMOM21ONON；如图 2，若不在同一平面内的射线OP，OQ 和 OR 上分别存在点P1，P2，点 Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？例 2.已知 O 是 ABC 内任意一点，连结AO、BO、CO 并延长交对边于A,B,C,则AAOA+BBOB+CCOC=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.AAOA+BBOB+CCOC=ABCOBCSS+ABCOCASS+ABCOABSS=ABCABCSS=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B
6、版选修 22-4-/11 强化练习1.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边 AB、AC互相垂直，则.222BCACAB”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则.”2.在平面几何中，ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比EBAE=BCAC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中（如图所示），而 DEC 平分二面角A CDB 且与 AB 相交于E，则得到的类比的结论是 .3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方
7、形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-5-/11 分的体积恒为 .(三)解析几何中的类比例 1.已知椭圆具有性质：若M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并记为PMk、PNk时，那么PMk与PNk之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线12222byax写出具有类似特性的性质，并加以证明.强化训练1.已知两个圆：122yx，与1)3(22
8、yx则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更 一 般 的 命 题，而 已 知 命 题 要 成 为 所 推 广 命 题 的 一 个 特 例，推 广 的 命 题为 .2如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FBAB时,其离心率为512,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于（）O x A B F y 高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-6-/11 A.512B.512C.51D.51（四）定义、运算中的类比例 1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
9、十进制1 2 3 4 5 6 .二进制1 1 0 .观察二进制1 位数，2 位数，3 位数时，对应的十进制的数，当二进制为6 位数能表示十进制中最大的数是强化训练1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“a b=b a”；“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=a c+b c”；“(mn)t=m(nt)”类比得到“（ab）c=a（bc）”；“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”；“bcac=ba”类比得到“cbca?=ba”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是
10、.2.下面使用类比推理恰当的是 .“若 a3=b3,则 a=b”类推出“若a0=b0，则 a=b”“(a+b)c=ac+bc”类推出“cba=ca+cb”“(a+b）c=ac+bc”类推出“cba=ca+cb(c0)”“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”3.下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a 的性质|a|2=a2类比得到复数z 的性质|z|2=z2；方程),(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-7-/11 得到：方程),(
11、02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是042acb；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是()A.B.C.D.4.定义ADDCCBBA,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.DADB,B.CADB,C.DACB,D.DADC,三、演绎推理例 1.一切奇数都不能被2 整除，2100+1是奇数，所以2100+1 不能被 2 整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .例 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直
12、线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误例 3“AC,BD 是菱形ABCD的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。例 4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。合情推理与演绎推理（答案）一、归纳推理高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-8-/11 例 1解析：（1）设)(nf为 n 个点可连的弦的条数，则变式 1.【答案】5，)2)(1(21nn解：由图B 可得5)4(f，由2)3
13、(f，5)4(f，9)5(f，14)6(f，可推得 n 每增加 1，则交点增加)1(n个，)1(432)(nnf2)2)(12(nn)2)(1(21nn变式 2.（1）16，11（2）)2(21,22nnn强化训练1.答案白色 2.答案mambab3.答案4.答案(5,7)二、类比推理（一）数列中的类比例 1.分析本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列用减法定义性质用加法表述（若,*Nqpnm且,qpnm则qpnmaaaa）；等比数列用除法定义性质用乘法表述（若,*Nqpnm且,qpnm则qpnmaaaa）.由此，猜测本题的答案为：).,17(*172121Nnnbbb
14、bbbnn事实上，对等差数列na，如果0ka，则nknnknaaaa2221210kkaa.所以有：naaa212121(nnnaaaaanknkaa1222）（*,12Nnkn）.从而对等比数列nb，如果1kb，则有等式：),12(*122121Nnknbbbbbbnkn成立.强化练习1.分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。图 B 高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-9-/11 解：an是等和数列，21a，公和为5，32a，则23a，34a，知32na，212na（nN*）。18a3，
15、数列 an形如：2，3，2，3，2，3，。为奇数为偶数nnnnSn212525。2.解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到。Nnccccdnnn也是等比数列)(,.*321（二）几何中的类比例 1.解类似的结论为：222111RQPORQPOVV=21OPOP21OQOQ21OROR.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作 R2M2平面 P2OQ2于 M2，连 OM2.过 R1在平面 OR2M2作 R1M1R2M2交 OM2于 M1，则 R1M1平面 P2OQ2.由111RQPOV=3111OQPSR1M1=
16、3121OP1OQ1sin P1OQ1R1M1=61OP1 OQ1R1M1 sin P1OQ1，同理，222RQPOV=61OP2OQ2R2M2sin P2OQ2.所以222111RQPORQPOVV=22221111MROQOPMROQOP?.由平面几何知识可得2211MRMR=21OROR.所以222111RQPORQPOVV=222111OROQOPOROQOP?.所以结论正确.例 2.证明在四面体VBCD 中，任取一点O，连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于E、F、G、H 点.则VEOE+DFOF+BGOG+CHOH=1.在四面体OBCD 与 VBCD 中：高中数学2.1
17、合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-10-/11 VEOE=hh1=hShSBCDBCD?31311=BCDVBCDOVV.同理有：DFOF=VBCDVBCOVV；BGOG=VCDBVCDOVV；CHOH=VBDCVBDOVV，VEOE+DFOF+BGOG+CHOH=BCDVVBDOVCDOVBCOBCDOVVVVV=BCDVBCDVVV=1.强化练习1.分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体 积面 积；二面角平面角面 积线段长；由此，可类比猜测本题的答案：2ABCS2ACDS2ADBS2BCDS（证明略）.2.答案EBA
18、E=BCDACDSS3.答案83a(三)解析几何中的类比例 1.分析类似的性质为：若M、N 是双曲线12222byax上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并记为PMk、PNk时，那么PMk与PNk之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M、P的坐标为（nm,）、（yx,），则 N（nm,）.因为点 M（nm,）在已知双曲线上，所以22222bmabn，同理22222bxaby.则222222222222abmxmxabmxnymxnymxnykkPNPM（定值）.强化训练1.分析将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况：设圆的方程为222)()(
19、rbyax，与222)()(rdycx其中ca或db，则由式减去式可得两圆的对称轴方程.评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。2 答案：A。解析：猜想出“黄金双曲线”的离心率e等于512.事实上对直角ABF应高中数学2.1合情推理与演绎推理测试（1）新人教 B版选修 22-11-/11 用勾股定理,得222AFBFAB,即有22222()()()acbcab,注意到222bca,cea,变形得210,eee从而512.（四）定义、运算中的类比例 1.解：通过阅读，不难发现：111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,
20、21121021021021010100写成二进制为进而知于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:1111116543210化成十进制为。强化训练1.答案2 2.答案 3.答案：D 。解析：由复数的性质可知。4.答案：B。三、演绎推理例 1.一切奇数都不能被2 整除，2100+1是奇数，所以2100+1 不能被 2 整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案一切奇数都不能被2 整除，大前提2100+1 是奇数，小前提所以 2100+1不能被 2 整除.结论例 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。例 3“AC,BD 是菱形ABCD的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分。例 4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。答案：。解析：是大前提，是小前提，是结论。