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1、合情推理与演绎推理一、归纳推理例1（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n(n2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时
2、将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由,若ab0,m0，则与之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的轨迹为椭圆由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(
3、1,5),(2,4),则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列a等和数列，且，公和为5。那么的值为_，这个数列前n项和的计算公式为_。2.若数列是等差数列，则有数列类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列（二）几何中的类比例1.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P
4、1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？ 例2 . 已知O是ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A,B,C,则+=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.+=+=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.强化练习1.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”2.在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，
5、把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 . 3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . (三)解析几何中的类比例1.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与写出具有类似特性的性质，并加以证明.强化训练1.已知两个圆：， 与
6、 则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .OxABFy2如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ） A. B. C. D. （四）定义、运算中的类比例1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456.二进制11011100101110.观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是 强化训练1.由代数
7、式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“ab=ba”；“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”；“(mn)t=m(nt)”类比得到“（ab）c=a（bc）”；“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”；“=”类比得到“=”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .2.下面使用类比推理恰当的是 .“若a3=b3,则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c0)”“（ab）n=anbn
8、”类推出“(a+b)n=an+bn”3.下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 4.定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.三、演绎推理例1.一切奇数都不能被2整除，2100+
9、1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .例2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）例3“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。例4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。合情推理与演绎推理（答案）一、归纳推理例1解析：（1）设为n个点可连的弦的条数，则变式1.图B【答案】5，解：由图B可得，由，可推得n每增加1，则交点增加个，变式
10、2.（1）16，11（2）强化训练1.答案 白色2.答案 3.答案 4.答案 (5,7)二、类比推理（一）数列中的类比例1.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且则）； 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且则）. 由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则. 所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.强化练习1.分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：a是等和数列，公和为5，则，知，（nN*）。3，数列a形如：2，3，2，3
11、，2，3，。2.解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到（二）几何中的类比例1.解 类似的结论为：=.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2M2平面P2OQ2于M2，连OM2.过R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，则R1M1平面P2OQ2.由=R1M1=OP1OQ1sinP1OQ1R1M1=OP1OQ1R1M1sinP1OQ1，同理，=OP2OQ2R2M2sinP2OQ2.所以=.由平面几何知识可得=.所以=.所以结论正确.例2 . 证明 在四面体VBCD中，任取一点O，连结VO、DO、BO、
12、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H+=1.在四面体OBCD与VBCD中：=.同理有：=；=；=，+=1. 强化练习1.分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案： （证明略）.2.答案 =3.答案 (三)解析几何中的类比例1.分析 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）. 因为点M（）在已知
13、双曲线上，所以，同理.则（定值）.强化训练1.分析 将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况： 设圆的方程为， 与 其中或，则由式减去式可得两圆的对称轴方程. 评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。2 答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角应用勾股定理,得,即有,注意到,变形得.（四）定义、运算中的类比例1.解：通过阅读，不难发现：于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是。强化训练1.答案 2 2.答案 3.答案：D 。解析：由复数的性质可知。4.答案：B。三、演绎推理例1.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+
14、1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案 一切奇数都不能被2整除，大前提2100+1是奇数， 小前提所以2100+1不能被2整除.结论例2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。例3“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。例4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案：。解析：是大前提，是小前提，是结论。