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1、2015高中数学 2.1合情推理与演绎推理练习 新人教A版选修2-2 一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A BC D答案A解析观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2在数列an中，a10，an12an2，则猜想an()A2n2 B2n2C2n11 D2n14答案B解析a10212，a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2.故应选B.3数列an：2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32C33 D27答案B解析因为5231,115632,
2、2011933，猜测x2034,47x35，推知x32.故应选B.4用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案C解析从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.5图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含_个互不重叠的单位正方形()An22n1 B2n22n1C2n22 D2n2n1答案B解析观察题中给出的四个图
3、形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有1222个正方形；图(3)共有2232个正方形；图(4)共有3242个正方形；则第n个图中共有(n1)2n2，即2n22n1个正方形6n个连续自然数按规律排列下表：01234567891011根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A BC D答案C解析观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为，故应选C.二、填空题7观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*,12223242(1)n1n2_.答案(1)n1解析注意到第n
4、个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123n，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1)n1.8(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135；照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n1到nn，等式右端是2n与等差数列2n1前n项的乘积，故第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)9观察下图中各正方形图案，每条边上有n
5、(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为_答案S4(n1)(n2)解析每条边上有2个圆圈时共有S4个；每条边上有3个圆圈时，共有S8个；每条边上有4个圆圈时，共有S12个可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S4(n1)(n2)三、解答题10证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos，2cos，2cos，证明2cos22cos222cos22观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos 一、选择题11已知数列an的前n项和Snn2
6、an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an等于()A BC D答案B解析因为Snn2an，a11，所以S24a2a1a2a2，S39a3a1a2a3a3，S416a4a1a2a3a4a4.所以猜想an，故应选B.12观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)答案D解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查13
7、把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A27 B28C29 D30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1234n个，第七个三角形数为28.二、填空题14下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有_个原子，有_个化学键答案4n2,5n1解析第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,64,642，故第n个图形有原子64(n1)4n2个第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、65、652、第n个图形化学键个数为65(n1)5n1.15(
8、2014三峡名校联盟联考)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12、22、32、(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1，所以第五个不等式为：10ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；若“a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0B1C2D3答案C解析在实数集中，abab0，但在复数集中，不全
9、为实数的两个数不能比较大小，如a2i，b1i，有ab10，但ab不成立；a、b、c、dQ，ac，bdQ，abcd，(ac)(bd)0，故正确；由复数相等的定义知，若ax1y1i(x1、y1R)，bx2y2i(x2、y2R)，则由ab(x1x2)(y1y2)i0，ab，故正确6由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”其中类比
10、结论正确的个数是()A1B2C3D4答案B解析由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故应选B.二、填空题7设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_答案3解析本题是“方法类比”因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)f(5)f(6)f(4)f(5)f(0)f(1)，而当x1x21时，有f(x1)f(x2)，故所求答案为63.8在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，
11、若b91，则有等式_成立答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析解法1：从分析所提供的性质入手：由a100，可得aka20k0，因而当n19n时的情形由此可知：等差数列an之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an1a19n2a100，类似地，在等比数列bn中，也有性质：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，故在等比数列bn中，由b91，可知应有“积”的性质b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立. (1)证明如下：当n8时，
12、等式(1)为b1b2bnb1b2bnbn1b17n，即：bn1bn2b17n1.(2)b91，bk1b17kb1.bn1bn2b17nb1.(2)式成立，即(1)式成立；当n8时，(1)式即：b91显然成立；当8n17时，(1)式即：b1b2b17nb18nbnb1b2b17n，即：b18nb19nbn1(3)b91，b18kbkb1，b18nb19nbnb1，(3)式成立，即(1)式成立综上可知，当等比数列bn满足b91时，有：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立9已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，前n项积为Tn，类比等差数列的性质，填写等比数
13、列的相应性质(m，n，k，wN*).等差数列等比数列ana1(n1)danam(nm)d若mnkw，则amanakaw若mn2w，则aman2awSn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列答案ana1qn1anamqnm若mnkw，则amanakaw若mn2w，则amanaTn，构成等比数列三、解答题10先解答(1)，再根据结构类比解答(2)(1)已知a、b为实数，且|a|1，|b|ab.(2)已知a、b、c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)|a|1，|b|1，|c|abc，abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.点评
14、(1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)c1abc是关键用归纳推理可推出更一般的结论：ai为实数，|ai|1，i1、2、n，则有：a1a2an(n1)a1a2an.一、选择题11下列类比推理恰当的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsinyC把(ab)n与(ab)n类比，则有(ab)nanbnD把a(bc)与a(bc)类比，则有a(bc)abac答案D解析选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误12如图
15、所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A BC1 D1答案A解析如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)，(c，b)，(a，b)，又，b2ac0，c2a2ac0，e2e10，e或e(舍去)，故应选A.13(2013辽师大附中期中)类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该
16、顶点所对的面面积的(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对答案C解析以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确二、填空题14(2014阜阳一中模拟)若等差数列an的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an.由类比推理可得：在等比数列bn中，若其前n项的积为Pn，则P2n1_.答案b解析将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”因为等差数列an的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an.所以类比可
17、得：在等比数列bn中，若其前n项的积为Pn，则P2n1b.15(2014湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BDBC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面积之间关系为_答案SSOBCSDBC解析将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBCSDBC.16在以原点为圆心，半径为r的圆上
18、有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆r2，过点P的圆的切线方程为x0xy0yr2.在椭圆1(ab0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆_.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆1(ab0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为_答案abxy1解析当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积Sr2rr，猜想椭圆面积S椭ab，其严格证明可用定积分处理而由切线方程x0xy0yr2变形得xy1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为xy1，其严格证明可用导数求切线处
19、理三、解答题17点P在圆C：x2y21上，经过点P的圆的切线方程为xy1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2xy1与圆相交，点R在圆C的内部直线xy1与圆相离类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2y2r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析点P(a，b)在C：x2y2r2上时，直线axbyr2与C相切；点P在C内时，直线axbyr2与C相离；点P在C外部时，直线axbyr2与C相交容易证明此结论是正确的18我们知道：12 1，22(11)212211，32(21)222221，42(31)232231，n2(n1)22(n1)1，左右两边分别相加，得n22123
20、(n1)n123n.类比上述推理方法写出求122232n2的表达式的过程解析我们记S1(n)123n，S2(n)122232n2，Sk(n)1k2k3knk (kN*)已知13 1，23(11)313312311，33(21)323322321，43(31)333332331，n3(n1)33(n1)23(n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n)S3(n)n33S2(n)n23S1(n)nn.由此知S2(n).选修2-2第二章2.12.1.2 一、选择题1“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形
21、C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案B2(2013华池一中高二期中)“三角函数是周期函数，ytanx，x是三角函数，所以ytanx，x是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是()A推理完全正确B大前提不正确C小前提不正确 D推理形式不正确答案D解析大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确3“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”以上三段论推理()A完全正确B推理形式不正确C不正确，两个“自然数”概念不一致D不正确，两个“整数”概念不一致答案A解析大前提“凡是自然数都是整数”正确小前提“4是自然数”也正确，推理形式
22、符合演绎推理规则，所以结论正确4论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式5(2014洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是()大前提：若直线a直线l，且直线b直线l，则ab.小前提：正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1AA1，且ADAA1.结论：A1B1AD.A推理正确B大前提出错导致推理错误C小前提出错
23、导致推理错误D仅结论错误答案B解析由la，lb得出ab只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误6有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误答案C解析用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则二、填空题7已知推理：“因为ABC的三边长依次为3、4、5，所以ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_答案一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形8函数y2x5的图象是一条直线，用三段论
24、表示为：大前提_小前提_结论_答案所有一次函数的图象都是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图象是一条直线9以下推理中，错误的序号为_abac，bc；ab，bc，ac；75不能被2整除，75是奇数；ab，b平面，a.答案解析当a0时，abac，但bc未必成立三、解答题10将下列演绎推理写成三段论的形式(1)菱形的对角线互相平分(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除答案(1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论一、选择题11“在四边形ABCD中，AB綊CD，四
25、边形ABCD是平行四边形”上述推理过程()A省略了大前提 B省略了小前提C是完整的三段论 D推理形式错误答案A解析上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”12(2014淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b平面，直线a平面；结论：所以直线b直线a.在这个推理中()A大前提正确，结论错误B小前提与结论都是错误的C大、小前提正确，只有结论错误D大前提错误，结论错误答案D解析如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b平面，直线a平面时，直
26、线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.13(2014淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80C86 D92答案B解析记|x|y|n(nN*)的不同整数解(x，y)的个数为f(n)，则依题意有f(1)441，f(2)842，f(3)1243，由此可得f(n)4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为f(20)42080，选B.14下面几种推理过程是演绎推理的是()A因为
27、A和B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以AB180B我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C由633,835,1037,1257,1477，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D在数列an中，a11，an(n2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出an的通项公式答案A解析选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理二、填空题15“l，AB，ABl，AB”，在上述推理过程中，省略的命题为_答案如果两个平面相交
28、，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面三、解答题16判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)”奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，9是质数解析错误小前提错误因为若三点共线，则可确定无数平面，只有共线的三点才能确定一个平面错误推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例17下面给出判断函数f(x)的奇偶性的解题过程：解：由于xR，且1.f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数试用三段论加以分析解析判断奇偶性的大前提“若xR，且f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数；若xR，且f(x)f(x)，则函数f(x)是偶函数”在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(x)f(x)19